twodnavierstokes

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.12%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.22.4%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Two-Dimensional%20Navier%E2%80%93Stokes%0A%20%20%20%20%23%23%20An%20Interactive%20GFD%20Tutorial%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20introduces%20**2D%20turbulence**.%20The%20solver%20is%20implemented%20here%20in%20NumPy%20so%20it%20runs%20in%20your%20browser.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**How%20to%20use%3A**%20Read%20the%20theory%20below%2C%20choose%20a%20scenario%2C%20press%20**%E2%96%B6%20Run%20Simulation**%2C%0A%20%20%20%20%3E%20then%20explore%20the%20results%20interactively.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%201%20%C2%B7%20Governing%20Equations%0A%0A%20%20%20%20We%20track%20the%20**vorticity**%20%24%5Czeta%20%3D%20%5Cpartial_x%20v%20-%20%5Cpartial_y%20u%24%0A%20%20%20%20(the%20curl%20of%20the%202D%20velocity%20field).%20Its%20evolution%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cpartial_t%20%5Czeta%20%2B%20J(%5Cpsi%2C%5Czeta)%0A%20%20%20%20%3D%20-%5Cnu(-%5Cnabla%5E2)%5E%7Bn_%7B%5Cnu%7D%7D%5Czeta%20%2B%20F%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24J(%5Cpsi%2C%5Czeta)%24%20is%20the%20advection%20term%20(Jacobian)%2C%0A%20%20%20%20%24%5Cnu%24%20is%20viscosity%2C%20%24n_%7B%5Cnu%7D%24%20its%20order%2C%20and%20%24F%24%20is%20external%20forcing.%0A%0A%20%20%20%20**Streamfunction**%20%24%5Cpsi%24%20relates%20to%20vorticity%20via%20the%20Poisson%20equation%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cnabla%5E2%5Cpsi%20%3D%20-%5Czeta%20%5Cqquad%5CLongrightarrow%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cpsi%7D_%7B%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Chat%7B%5Czeta%7D_%7B%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%7D%7B%7C%5Cmathbf%7Bk%7D%7C%5E2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Velocity**%20is%20recovered%20from%20%24%5Cpsi%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24(u%2Cv)%20%3D%20%5Cleft(-%5Cpartial_y%5Cpsi%2C%5C%3B%5Cpartial_x%5Cpsi%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Jacobian**%20(advection)%20in%20physical%20space%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24J(%5Cpsi%2C%5Czeta)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Czeta%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20-%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Czeta%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%20u%5C%2C%5Cpartial_x%5Czeta%20%2B%20v%5C%2C%5Cpartial_y%5Czeta%24%24%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20Symbol%20%7C%20Role%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-----------%7C--------%7C------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Kinematic%20viscosity%20%7C%20%24%5Cnu%24%20%7C%20Damps%20small-scale%20motion%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Viscosity%20order%20%7C%20%24n_%5Cnu%20%5Cgeq%201%24%20%7C%20%24n_%5Cnu%3D1%24%20is%20regular%20viscosity%3B%20%24n_%5Cnu%3E1%24%20is%20*hyperviscosity*%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Forcing%20%7C%20%24F(x%2Cy%2Ct)%24%20%7C%20Energy%20injection%20(zero%20in%20decaying%20runs)%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%202%20%C2%B7%20Pseudo-Spectral%20Method%0A%0A%20%20%20%20All%20spatial%20derivatives%20are%20computed%20**exactly%20in%20Fourier%20space**%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cpartial_x%20%5C%3B%5Clongleftrightarrow%5C%3B%20i%20k_x%2C%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%5Cpartial_y%20%5C%3B%5Clongleftrightarrow%5C%3B%20i%20k_y%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20full%20equation%20in%20spectral%20space%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cpartial_t%20%5Chat%7B%5Czeta%7D_%7B%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%20%3D%20-%5Cwidehat%7BJ(%5Cpsi%2C%5Czeta)%7D_%7B%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%20-%20%5Cnu%7C%5Cmathbf%7Bk%7D%7C%5E%7B2n_%7B%5Cnu%7D%7D%5Chat%7B%5Czeta%7D_%7B%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20%5Chat%7BF%7D_%7B%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20term%20is%20computed%20in%20physical%20space%20(inverse%20FFT%2C%20multiply%2C%20forward%20FFT)%3B%0A%20%20%20%20the%20second%20is%20applied%20directly%20in%20spectral%20space.%0A%0A%20%20%20%20**Time%20integration%3A**%204th-order%20Runge%E2%80%93Kutta%20(RK4).%0A%0A%20%20%20%20**Dealiasing%20(Orszag%202%2F3%20rule)%3A**%20All%20modes%20with%0A%20%20%20%20%24%7C%5Cmathbf%7Bk%7D%7C%20%3E%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dk_%7B%5Cmax%7D%24%20are%20zeroed%20after%20every%20step.%0A%20%20%20%20This%20prevents%20nonlinear%20aliasing%20and%20stabilises%20the%20simulation%0A%20%20%20%20even%20with%20%24%5Cnu%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20**Diagnostics**%20(domain-averaged)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clangle%7C%5Cnabla%5Cpsi%7C%5E2%5Crangle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%5Csum_%7B%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%5Ctfrac%7B1%7D%7B2%7D%7C%5Cmathbf%7Bk%7D%7C%5E2%7C%5Chat%5Cpsi_%7B%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%7C%5E2%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20Z%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clangle%5Czeta%5E2%5Crangle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%5Csum_%7B%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%5Ctfrac%7B1%7D%7B2%7D%7C%5Chat%5Czeta_%7B%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%7C%5E2%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20freely%20decaying%20flow%20(no%20forcing%2C%20no%20viscosity)%2C%20both%20%24E%24%20and%20%24Z%24%0A%20%20%20%20are%20**conserved%20invariants**.%20Any%20decay%20you%20observe%20is%20solely%20from%20the%0A%20%20%20%20dealiasing%20filter%20acting%20at%20the%20grid%20scale.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%203%20%C2%B7%20Choose%20a%20Scenario%20%26%20Parameters%0A%0A%20%20%20%20Select%20a%20preset%20or%20customise%20the%20sliders%20below.%0A%20%20%20%20The%20**decaying**%20case%20follows%20%5BMcWilliams%20(1984)%5D(https%3A%2F%2Fdoi.org%2F10.1017%2FS0022112084001750)%2C%0A%20%20%20%20the%20landmark%20paper%20that%20characterised%202D%20turbulence.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20scenario%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Decaying%20turbulence%20(McWilliams%201984)%22%3A%20%22decay%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Hyperviscosity%20(n%3D2)%20%E2%80%94%20sharper%20cascade%22%3A%20%22hyper%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22High-wavenumber%20initial%20energy%22%3A%20%22highk%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Decaying%20turbulence%20(McWilliams%201984)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Preset%20scenario%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20scenario%0A%20%20%20%20return%20(scenario%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20scenario)%3A%0A%20%20%20%20_presets%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22decay%22%3A%20dict(n%3D128%2C%20dt%3D0.01%2C%20nsteps%3D2000%2C%20k0%3D6%2C%20%20nu%3D0.0%2C%20%20%20nnu%3D1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22hyper%22%3A%20dict(n%3D128%2C%20dt%3D0.01%2C%20nsteps%3D2000%2C%20k0%3D6%2C%20%20nu%3D1e-8%2C%20%20nnu%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22highk%22%3A%20dict(n%3D128%2C%20dt%3D0.01%2C%20nsteps%3D2000%2C%20k0%3D14%2C%20nu%3D0.0%2C%20%20%20nnu%3D1)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20_p%20%3D%20_presets%5Bscenario.value%5D%0A%0A%20%20%20%20n_slider%20%3D%20mo.ui.slider(32%2C%20256%2C%20step%3D32%2C%20value%3D_p%5B%22n%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Grid%20%24n%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20dt_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.002%2C%200.02%2C%20step%3D0.002%2C%20value%3D_p%5B%22dt%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Time%20step%20%24%5C%5CDelta%20t%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20nsteps_slider%20%3D%20mo.ui.slider(500%2C%205000%2C%20step%3D500%2C%20value%3D_p%5B%22nsteps%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Steps%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20k0_slider%20%3D%20mo.ui.slider(2%2C%2020%2C%20step%3D1%2C%20value%3D_p%5B%22k0%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Peak%20wavenumber%20%24k_0%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20nu_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.0%2C%201e-6%2C%20step%3D1e-7%2C%20value%3D_p%5B%22nu%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Viscosity%20%24%5C%5Cnu%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20nnu_slider%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%204%2C%20step%3D1%2C%20value%3D_p%5B%22nnu%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Viscosity%20order%20%24n_%5C%5Cnu%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bn_slider%2C%20dt_slider%2C%20nsteps_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bk0_slider%2C%20nu_slider%2C%20nnu_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3E%20**Tip%20for%20browser%2FWASM%3A**%20keep%20%24n%20%5Cleq%2064%24%20and%20steps%20%24%5Cleq%201000%24%20for%20fast%20runs.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3E%20A%20%24128%5Ctimes128%24%20grid%20with%202000%20steps%20takes%20~15%20s%20locally.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20dt_slider%2C%20k0_slider%2C%20n_slider%2C%20nnu_slider%2C%20nsteps_slider%2C%20nu_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Persistent%20state%20%E2%80%94%20survives%20run_btn%20resetting%20to%20False%0A%20%20%20%20get_sim%2C%20set_sim%20%3D%20mo.state(None)%0A%20%20%20%20return%20get_sim%2C%20set_sim%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20run_btn%20%3D%20mo.ui.run_button(label%3D%22%E2%96%B6%20%20Run%20Simulation%22)%0A%20%20%20%20run_btn%0A%20%20%20%20return%20(run_btn%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20dt_slider%2C%0A%20%20%20%20k0_slider%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n_slider%2C%0A%20%20%20%20nnu_slider%2C%0A%20%20%20%20nsteps_slider%2C%0A%20%20%20%20nu_slider%2C%0A%20%20%20%20run_btn%2C%0A%20%20%20%20set_sim%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mo.stop(not%20run_btn.value%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Press%20**%E2%96%B6%20Run%20Simulation**%20above%20to%20start.%22)%2C%20kind%3D%22info%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20_np%0A%0A%20%20%20%20_n%20%20%20%20%20%20%3D%20n_slider.value%0A%20%20%20%20_L%20%20%20%20%20%20%3D%202%20*%20_np.pi%0A%20%20%20%20_dt%20%20%20%20%20%3D%20dt_slider.value%0A%20%20%20%20_nsteps%20%3D%20nsteps_slider.value%0A%20%20%20%20_nsubs%20%20%3D%20max(1%2C%20_nsteps%20%2F%2F%20120)%20%20%20%23%20~120%20saved%20frames%0A%20%20%20%20_k0%20%20%20%20%20%3D%20k0_slider.value%0A%20%20%20%20_nu%20%20%20%20%20%3D%20nu_slider.value%0A%20%20%20%20_nnu%20%20%20%20%3D%20nnu_slider.value%0A%20%20%20%20_E0%20%20%20%20%20%3D%200.5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Grid%20%26%20wavenumbers%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_x%20%20%3D%20_np.linspace(0%2C%20_L%2C%20_n%2C%20endpoint%3DFalse)%0A%20%20%20%20_y%20%20%3D%20_np.linspace(0%2C%20_L%2C%20_n%2C%20endpoint%3DFalse)%0A%20%20%20%20_kx%20%3D%20_np.fft.rfftfreq(_n)%20*%20_n%20*%20(2%20*%20_np.pi%20%2F%20_L)%0A%20%20%20%20_ky%20%3D%20_np.fft.fftfreq(_n)%20%20*%20_n%20*%20(2%20*%20_np.pi%20%2F%20_L)%0A%20%20%20%20_KX%2C%20_KY%20%3D%20_np.meshgrid(_kx%2C%20_ky)%0A%20%20%20%20_Ksq%20%20%20%3D%20_KX**2%20%2B%20_KY**2%0A%20%20%20%20_invKsq%20%3D%20_np.where(_Ksq%20%3D%3D%200%2C%200.0%2C%201.0%20%2F%20_np.where(_Ksq%20%3D%3D%200%2C%201.0%2C%20_Ksq))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Orszag%202%2F3%20dealiasing%20filter%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_kmax%20%3D%20(_n%20%2F%2F%202)%20*%20(2%20*%20_np.pi%20%2F%20_L)%0A%20%20%20%20_filt%20%3D%20(_np.sqrt(_Ksq)%20%3C%3D%20(2.0%20%2F%203.0)%20*%20_kmax).astype(float)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Linear%20operator%20(viscosity)%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_L_op%20%3D%20-_nu%20*%20_Ksq**_nnu%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Initial%20condition%3A%20peaked%20isotropic%20spectrum%20(McWilliams%201984)%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_rng%20%20%20%20%3D%20_np.random.default_rng(1234)%0A%20%20%20%20_K%20%20%20%20%20%20%3D%20_np.sqrt(_Ksq)%0A%20%20%20%20_Ks%20%20%20%20%20%3D%20_np.where(_K%20%3D%3D%200%2C%201e-10%2C%20_K)%0A%20%20%20%20_amp%20%20%20%20%3D%20_Ks%20*%20_np.sqrt(1.0%20%2F%20(1.0%20%2B%20(_Ks%20%2F%20_k0)**4))%0A%20%20%20%20_phase%20%20%3D%202%20*%20_np.pi%20*%20_rng.random((_n%2C%20_n%20%2F%2F%202%20%2B%201))%0A%20%20%20%20_zeta_h%20%3D%20_filt%20*%20_amp%20*%20_np.exp(1j%20*%20_phase)%0A%20%20%20%20_ph0%20%20%20%20%3D%20-_invKsq%20*%20_zeta_h%0A%20%20%20%20_u0%20%20%20%20%20%3D%20_np.fft.irfft2(-1j%20*%20_KY%20*%20_ph0)%0A%20%20%20%20_v0%20%20%20%20%20%3D%20_np.fft.irfft2(%201j%20*%20_KX%20*%20_ph0)%0A%20%20%20%20_Einit%20%20%3D%200.5%20*%20_np.mean(_u0**2%20%2B%20_v0**2)%0A%20%20%20%20if%20_Einit%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_zeta_h%20*%3D%20_np.sqrt(_E0%20%2F%20_Einit)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Nonlinear%20term%20%20N(%CE%B6)%20%3D%20%E2%88%92J(%CF%88%2C%CE%B6)%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20def%20_N(zh)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ph%20%20%3D%20-_invKsq%20*%20zh%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%20%20%20%3D%20_np.fft.irfft2(-1j%20*%20_KY%20*%20ph)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%20%20%3D%20_np.fft.irfft2(%201j%20*%20_KX%20*%20ph)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dzx%20%3D%20_np.fft.irfft2(1j%20*%20_KX%20*%20zh)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dzy%20%3D%20_np.fft.irfft2(1j%20*%20_KY%20*%20zh)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-_np.fft.rfft2(u%20*%20dzx%20%2B%20v%20*%20dzy)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Filtered%20RK4%20step%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20def%20_step(zh)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20rhs(z)%3A%20return%20_L_op%20*%20z%20%2B%20_N(z)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k1%20%3D%20rhs(zh)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k2%20%3D%20rhs(zh%20%2B%200.5%20*%20_dt%20*%20k1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k3%20%3D%20rhs(zh%20%2B%200.5%20*%20_dt%20*%20k2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k4%20%3D%20rhs(zh%20%2B%20_dt%20*%20k3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_filt%20*%20(zh%20%2B%20(_dt%20%2F%206.0)%20*%20(k1%20%2B%202*k2%20%2B%202*k3%20%2B%20k4))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Diagnostics%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20def%20_E(zh)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ph%20%3D%20-_invKsq%20*%20zh%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%20%20%3D%20_np.fft.irfft2(-1j%20*%20_KY%20*%20ph)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%20%3D%20_np.fft.irfft2(%201j%20*%20_KX%20*%20ph)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(0.5%20*%20_np.mean(u**2%20%2B%20v**2))%0A%0A%20%20%20%20def%20_Z(zh)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(0.5%20*%20_np.mean(_np.fft.irfft2(zh)**2))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Time-stepping%20loop%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_t_hist%2C%20_E_hist%2C%20_Z_hist%2C%20_snaps%20%3D%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_t%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20for%20_s%20in%20range(_nsteps%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_s%20%25%20_nsubs%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_t_hist.append(_t)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_E_hist.append(_E(_zeta_h))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Z_hist.append(_Z(_zeta_h))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_snaps.append(_np.fft.irfft2(_zeta_h).copy())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_s%20%3C%20_nsteps%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_zeta_h%20%3D%20_step(_zeta_h)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_t%20%2B%3D%20_dt%0A%0A%20%20%20%20set_sim(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22snaps%22%3A%20%20_snaps%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22t_hist%22%3A%20_np.array(_t_hist)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22E_hist%22%3A%20_np.array(_E_hist)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Z_hist%22%3A%20_np.array(_Z_hist)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22n%22%3A%20_n%2C%20%22L%22%3A%20_L%2C%20%22x%22%3A%20_x%2C%20%22y%22%3A%20_y%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**Done.**%20%7B_nsteps%7D%20steps%20on%20a%20%7B_n%7D%C3%97%7B_n%7D%20grid%20%C2%B7%20%7Blen(_snaps)%7D%20snapshots%20saved.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22success%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(get_sim%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20_sim%20%3D%20get_sim()%0A%20%20%20%20mo.stop(_sim%20is%20None%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Results%20will%20appear%20here%20once%20the%20simulation%20has%20run.%22)%2C%20kind%3D%22warn%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20snaps%20%20%3D%20_sim%5B%22snaps%22%5D%0A%20%20%20%20t_hist%20%3D%20_sim%5B%22t_hist%22%5D%0A%20%20%20%20E_hist%20%3D%20_sim%5B%22E_hist%22%5D%0A%20%20%20%20Z_hist%20%3D%20_sim%5B%22Z_hist%22%5D%0A%20%20%20%20sim_n%20%20%3D%20_sim%5B%22n%22%5D%0A%20%20%20%20sim_L%20%20%3D%20_sim%5B%22L%22%5D%0A%20%20%20%20return%20E_hist%2C%20Z_hist%2C%20np%2C%20sim_L%2C%20sim_n%2C%20snaps%2C%20t_hist%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%204%20%C2%B7%20Results%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Overview%3A%20Initial%20%26%20Final%20Vorticity%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E_hist%2C%20Z_hist%2C%20np%2C%20snaps%2C%20t_hist)%3A%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.gridspec%20as%20_gs%0A%20%20%20%20from%20matplotlib.colors%20import%20TwoSlopeNorm%20as%20_TSN%0A%0A%20%20%20%20_vmax%20%3D%20float(np.percentile(np.abs(snaps%5B0%5D)%2C%2099.5))%20or%201.0%0A%20%20%20%20_norm%20%3D%20_TSN(vmin%3D-_vmax%2C%20vcenter%3D0%2C%20vmax%3D_vmax)%0A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20plt.figure(figsize%3D(13%2C%204.5))%0A%20%20%20%20_gs0%20%3D%20_gs.GridSpec(1%2C%203%2C%20figure%3D_fig%2C%20wspace%3D0.35)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Initial%20vorticity%0A%20%20%20%20_ax0%20%3D%20_fig.add_subplot(_gs0%5B0%5D)%0A%20%20%20%20_ax0.imshow(snaps%5B0%5D%2C%20origin%3D%22lower%22%2C%20cmap%3D%22RdBu_r%22%2C%20norm%3D_norm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20extent%3D%5B0%2C%202*np.pi%2C%200%2C%202*np.pi%5D)%0A%20%20%20%20_ax0.set_title(f%22Initial%20%20(%24t%3D%7Bt_hist%5B0%5D%3A.1f%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_ax0.set_xlabel(%22%24x%24%22)%3B%20_ax0.set_ylabel(%22%24y%24%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Final%20vorticity%0A%20%20%20%20_ax1%20%3D%20_fig.add_subplot(_gs0%5B1%5D)%0A%20%20%20%20_im1%20%3D%20_ax1.imshow(snaps%5B-1%5D%2C%20origin%3D%22lower%22%2C%20cmap%3D%22RdBu_r%22%2C%20norm%3D_norm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20extent%3D%5B0%2C%202*np.pi%2C%200%2C%202*np.pi%5D)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title(f%22Final%20%20(%24t%3D%7Bt_hist%5B-1%5D%3A.1f%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlabel(%22%24x%24%22)%0A%20%20%20%20plt.colorbar(_im1%2C%20ax%3D_ax1%2C%20label%3D%22%24%5C%5Czeta%24%22%2C%20fraction%3D0.046)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Energy%20%26%20Enstrophy%0A%20%20%20%20_ax2%20%3D%20_fig.add_subplot(_gs0%5B2%5D)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(t_hist%2C%20E_hist%20%2F%20E_hist%5B0%5D%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22%24E%2FE_0%24%22)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(t_hist%2C%20Z_hist%20%2F%20Z_hist%5B0%5D%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20label%3D%22%24Z%2FZ_0%24%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(%22%24t%24%22)%3B%20_ax2.set_ylabel(%22Normalized%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(%22Energy%20%26%20Enstrophy%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_ax2.legend(fontsize%3D10)%3B%20_ax2.set_ylim(0%2C%201.15)%0A%20%20%20%20_ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.suptitle(%222D%20Decaying%20Turbulence%20%E2%80%94%20Vorticity%20Field%22%2C%20fontsize%3D13%2C%20y%3D1.01)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%20(plt%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Animation%20of%20Vorticity%20Evolution%0A%0A%20%20%20%20The%20GIF%20below%20shows%20how%20vorticity%20evolves%20over%20time.%0A%20%20%20%20Notice%20how%20small%20vortices%20**merge**%20into%20larger%20structures%20%E2%80%94%20this%20is%20the%0A%20%20%20%20**inverse%20energy%20cascade**%2C%20a%20hallmark%20of%202D%20turbulence%20absent%20in%203D%20flows.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20snaps%2C%20t_hist)%3A%0A%20%20%20%20import%20io%20as%20_io%0A%20%20%20%20from%20PIL%20import%20Image%20as%20_Image%0A%0A%20%20%20%20_vmax_a%20%3D%20float(np.percentile(np.abs(snaps%5B0%5D)%2C%2099.5))%20or%201.0%0A%0A%20%20%20%20%23%20Subsample%20frames%20for%20a%20manageable%20GIF%20(max%2040%20frames)%0A%20%20%20%20_step_gif%20%3D%20max(1%2C%20len(snaps)%20%2F%2F%2040)%0A%20%20%20%20_frames_idx%20%3D%20list(range(0%2C%20len(snaps)%2C%20_step_gif))%0A%0A%20%20%20%20_pil_frames%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_fi%20in%20_frames_idx%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_g%2C%20_ax_g%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(4%2C%203.5)%2C%20dpi%3D80)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_im_g%20%3D%20_ax_g.imshow(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20snaps%5B_fi%5D%2C%20origin%3D%22lower%22%2C%20cmap%3D%22RdBu_r%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20vmin%3D-_vmax_a%2C%20vmax%3D_vmax_a%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20extent%3D%5B0%2C%202*np.pi%2C%200%2C%202*np.pi%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_g.set_title(f%22%24t%20%3D%20%7Bt_hist%5B_fi%5D%3A.1f%7D%24%22%2C%20fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_g.set_xlabel(%22%24x%24%22)%3B%20_ax_g.set_ylabel(%22%24y%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.colorbar(_im_g%2C%20ax%3D_ax_g%2C%20label%3D%22%24%5C%5Czeta%24%22%2C%20fraction%3D0.046)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_buf%20%3D%20_io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_g.savefig(_buf%2C%20format%3D%22png%22%2C%20dpi%3D80)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.close(_fig_g)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_buf.seek(0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pil_frames.append(_Image.open(_buf).convert(%22RGB%22))%0A%0A%20%20%20%20_gif_buf%20%3D%20_io.BytesIO()%0A%20%20%20%20_pil_frames%5B0%5D.save(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gif_buf%2C%20format%3D%22GIF%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20append_images%3D_pil_frames%5B1%3A%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20save_all%3DTrue%2C%20duration%3D120%2C%20loop%3D0%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_gif_buf.seek(0)%0A%0A%20%20%20%20mo.image(_gif_buf.read()%2C%20alt%3D%22Vorticity%20animation%22%2C%20width%3D420)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Interactive%20Snapshot%20Browser%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20snaps)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Fixed%20colorscale%20across%20all%20snapshots%0A%20%20%20%20_vmax_global%20%3D%20max(float(np.percentile(np.abs(snaps%5B0%5D)%2C%2099.5))%2C%201e-6)%0A%0A%20%20%20%20snap_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%20stop%3Dlen(snaps)%20-%201%2C%20step%3D1%2C%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Time%20step%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(snap_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20snap_slider%2C%20snaps%2C%20t_hist)%3A%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20_plt2%0A%20%20%20%20from%20matplotlib.colors%20import%20TwoSlopeNorm%20as%20_TSN2%0A%0A%20%20%20%20_idx%20%20%3D%20snap_slider.value%0A%20%20%20%20_snap%20%3D%20snaps%5B_idx%5D%0A%20%20%20%20_vmax_global%20%3D%20max(float(np.percentile(np.abs(snaps%5B0%5D)%2C%2099.5))%2C%201e-6)%0A%0A%20%20%20%20_plt2.close(%22all%22)%0A%20%20%20%20_fig3%2C%20_ax3%20%3D%20_plt2.subplots(figsize%3D(5.5%2C%204.8))%0A%20%20%20%20_im3%20%3D%20_ax3.imshow(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_snap%2C%20origin%3D%22lower%22%2C%20cmap%3D%22RdBu_r%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20norm%3D_TSN2(vmin%3D-_vmax_global%2C%20vcenter%3D0%2C%20vmax%3D_vmax_global)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20extent%3D%5B0%2C%202*np.pi%2C%200%2C%202*np.pi%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax3.set_title(f%22Vorticity%20%24%5C%5Czeta%24%20at%20%24t%20%3D%20%7Bt_hist%5B_idx%5D%3A.2f%7D%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax3.set_xlabel(%22%24x%24%22)%3B%20_ax3.set_ylabel(%22%24y%24%22)%0A%20%20%20%20_plt2.colorbar(_im3%2C%20ax%3D_ax3%2C%20label%3D%22%24%5C%5Czeta%24%22%2C%20fraction%3D0.046)%0A%20%20%20%20_plt2.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bsnap_slider%2C%20_fig3%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Radial%20Energy%20Spectrum%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20**enstrophy%20inertial%20range**%20of%202D%20turbulence%2C%20theory%20predicts%20a%0A%20%20%20%20%24k%5E%7B-3%7D%24%20energy%20spectrum%20(Kraichnan%201967).%20The%20**energy%20inertial%20range**%0A%20%20%20%20(scales%20larger%20than%20the%20forcing%20scale)%20follows%20%24k%5E%7B-5%2F3%7D%24%2C%20but%20requires%0A%20%20%20%20a%20forced%20run%20to%20observe%20clearly.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E_hist%2C%20Z_hist%2C%20sim_L%2C%20sim_n%2C%20snaps%2C%20t_hist)%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20_np3%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20_plt3%0A%0A%20%20%20%20%23%20Radial%20spectrum%20at%20initial%20and%20final%20times%0A%20%20%20%20def%20_radial_spectrum(zeta%2C%20n%2C%20L)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kx%20%3D%20_np3.fft.rfftfreq(n)%20*%20n%20*%20(2*_np3.pi%2FL)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ky%20%3D%20_np3.fft.fftfreq(n)%20%20*%20n%20*%20(2*_np3.pi%2FL)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20KX%2C%20KY%20%3D%20_np3.meshgrid(kx%2C%20ky)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ksq%20%3D%20KX**2%20%2B%20KY**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20invKsq%20%3D%20_np3.where(Ksq%3D%3D0%2C%200.0%2C%201.0%2F_np3.where(Ksq%3D%3D0%2C1.0%2CKsq))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zh%20%20%3D%20_np3.fft.rfft2(zeta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ph%20%20%3D%20-invKsq%20*%20zh%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E%20%20%20%3D%200.5%20*%20Ksq%20*%20_np3.abs(ph)**2%20%2F%20n**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20K%20%20%20%3D%20_np3.sqrt(Ksq)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_bins%20%3D%20_np3.arange(1%2C%20n%2F%2F2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ek%20%3D%20_np3.array(%5BE%5B(K%3E%3Dk-0.5)%26(K%3Ck%2B0.5)%5D.sum()%20for%20k%20in%20k_bins%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20k_bins%2C%20Ek%0A%20%20%20%20_k0_sp%2C%20_Ek0%20%3D%20_radial_spectrum(snaps%5B0%5D%2C%20%20sim_n%2C%20sim_L)%0A%20%20%20%20_kf_sp%2C%20_Ekf%20%3D%20_radial_spectrum(snaps%5B-1%5D%2C%20sim_n%2C%20sim_L)%0A%0A%20%20%20%20_fig4%2C%20_axes4%20%3D%20_plt3.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Spectrum%0A%20%20%20%20_axes4%5B0%5D.loglog(_k0_sp%2C%20_Ek0%2C%20lw%3D2%2C%20alpha%3D0.6%2C%20label%3Df%22%24t%3D%7Bt_hist%5B0%5D%3A.1f%7D%24%20(initial)%22)%0A%20%20%20%20_axes4%5B0%5D.loglog(_kf_sp%2C%20_Ekf%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20label%3Df%22%24t%3D%7Bt_hist%5B-1%5D%3A.1f%7D%24%20(final)%22)%0A%20%20%20%20_kref%20%3D%20_np3.array(%5B3%2C%20sim_n%2F%2F4%5D)%0A%20%20%20%20_axes4%5B0%5D.loglog(_kref%2C%20_Ekf%5B2%5D*(_kref%2F_kref%5B0%5D)**(-3)%2C%20%22k--%22%2C%20lw%3D1.2%2C%20label%3D%22%24k%5E%7B-3%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_axes4%5B0%5D.set_xlabel(r%22%24k_r%24%22)%3B%20_axes4%5B0%5D.set_ylabel(r%22%24E(k_r)%24%22)%0A%20%20%20%20_axes4%5B0%5D.set_title(%22Radial%20Energy%20Spectrum%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axes4%5B0%5D.legend(fontsize%3D9)%3B%20_axes4%5B0%5D.grid(True%2C%20which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20E%20%26%20Z%20log-scale%20time%20series%0A%20%20%20%20_axes4%5B1%5D.semilogy(t_hist%2C%20E_hist%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22%24E(t)%24%22)%0A%20%20%20%20_axes4%5B1%5D.semilogy(t_hist%2C%20Z_hist%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20label%3D%22%24Z(t)%24%22)%0A%20%20%20%20_axes4%5B1%5D.set_xlabel(%22%24t%24%22)%0A%20%20%20%20_axes4%5B1%5D.set_title(%22Energy%20%26%20Enstrophy%20(log%20scale)%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_axes4%5B1%5D.legend(fontsize%3D10)%3B%20_axes4%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_plt3.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig4%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%205%20%C2%B7%20Physical%20Interpretation%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Inverse%20Energy%20Cascade%0A%20%20%20%20In%20**3D%20turbulence**%2C%20energy%20flows%20from%20large%20to%20small%20scales%20(Richardson%20cascade).%0A%20%20%20%20In%20**2D%20turbulence**%2C%20the%20opposite%20happens%3A%20energy%20flows%20**upscale**%20(inverse%20cascade)%0A%20%20%20%20while%20enstrophy%20cascades%20to%20small%20scales.%20This%20is%20why%20the%20vorticity%20animation%20shows%0A%20%20%20%20small%20patches%20merging%20into%20large%20coherent%20vortices.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20does%202D%20turbulence%20behave%20differently%3F%0A%20%20%20%20In%202D%2C%20vortex%20stretching%20%E2%80%94%20the%20mechanism%20that%20drives%20the%203D%20energy%20cascade%20%E2%80%94%20is%20absent.%0A%20%20%20%20Two%20conservation%20laws%20operate%20simultaneously%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Conserved%20quantity%20%7C%20Consequence%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--------------------%7C-------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Energy%20%24E%24%20%7C%20Cannot%20be%20destroyed%2C%20so%20it%20accumulates%20at%20large%20scales%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Enstrophy%20%24Z%24%20%7C%20Acts%20as%20an%20additional%20constraint%2C%20forcing%20the%20upscale%20energy%20transfer%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20%24k%5E%7B-3%7D%24%20spectrum%0A%20%20%20%20In%20the%20**enstrophy%20inertial%20range**%20(%24k%20%3E%20k_0%24)%2C%20Kraichnan%20(1967)%20predicted%3A%0A%20%20%20%20%24%24E(k)%20%5Cpropto%20k%5E%7B-3%7D%24%24%0A%20%20%20%20The%20radial%20spectrum%20plot%20above%20should%20approach%20this%20slope%20at%20late%20times.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Geophysical%20relevance%0A%20%20%20%20Large-scale%20atmospheric%20and%20oceanic%20flows%20are%20approximately%202D%0A%20%20%20%20(stratification%20%2B%20rotation%20suppress%20vertical%20motions).%0A%20%20%20%20The%20inverse%20cascade%20explains%20why%20weather%20systems%20grow%20and%20why%0A%20%20%20%20ocean%20eddies%20tend%20to%20aggregate%20into%20large%20gyres.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A