rayleighbenard

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.12%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.22.4%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Rayleigh%E2%80%93B%C3%A9nard%20Convection%20%26%20the%20Lorenz%201963%20Model%0A%20%20%20%20%23%23%20An%20Interactive%20GFD%20Tutorial%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20explores%20**Rayleigh%E2%80%93B%C3%A9nard%20convection**%20%E2%80%94%20a%20fluid%20heated%20from%20below%0A%20%20%20%20and%20cooled%20from%20above%20%E2%80%94%20and%20shows%20how%20Edward%20Lorenz%20derived%20his%20famous%20three-variable%0A%20%20%20%20chaotic%20system%20directly%20from%20the%20Navier%E2%80%93Stokes%20equations%20applied%20to%20this%20problem.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**How%20to%20use%3A**%20Read%20through%20the%20theory%2C%20then%20press%20**%E2%96%B6%20Run**%20in%20each%20section%0A%20%20%20%20%3E%20to%20explore%20the%20interactive%20simulations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%201%20%C2%B7%20Physical%20Setup%0A%0A%20%20%20%20A%20layer%20of%20fluid%20of%20depth%20%24H%24%20sits%20between%20two%20horizontal%20plates%3A%0A%20%20%20%20-%20**Bottom%20plate%3A**%20temperature%20%24T_0%20%2B%20%5CDelta%20T%24%20(hot)%0A%20%20%20%20-%20**Top%20plate%3A**%20temperature%20%24T_0%24%20(cold)%0A%0A%20%20%20%20Gravity%20%24g%24%20acts%20downward.%20When%20the%20temperature%20difference%20%24%5CDelta%20T%24%20is%20small%2C%0A%20%20%20%20heat%20is%20carried%20by%20**conduction**%20alone%20and%20the%20fluid%20stays%20at%20rest.%20Above%20a%0A%20%20%20%20critical%20threshold%2C%20the%20fluid%20spontaneously%20**overturns**%20%E2%80%94%20warm%20light%20fluid%20rises%2C%0A%20%20%20%20cool%20dense%20fluid%20sinks%20%E2%80%94%20forming%20organised%20convection%20rolls.%0A%0A%20%20%20%20The%20competition%20between%20destabilising%20buoyancy%20and%20stabilising%20diffusion%0A%20%20%20%20is%20captured%20by%20a%20single%20dimensionless%20number%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24Ra%20%3D%20%5Cfrac%7Bg%20%5Calpha%20%5CDelta%20T%20H%5E3%7D%7B%5Cnu%20%5Ckappa%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Symbol%20%7C%20Meaning%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--------%7C---------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Calpha%24%20%7C%20Thermal%20expansion%20coefficient%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cnu%24%20%7C%20Kinematic%20viscosity%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Ckappa%24%20%7C%20Thermal%20diffusivity%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Pr%20%3D%20%5Cnu%2F%5Ckappa%24%20%7C%20Prandtl%20number%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20**Prandtl%20number**%20%24Pr%24%20sets%20the%20ratio%20of%20momentum%20to%20heat%20diffusion.%0A%20%20%20%20For%20air%20%24Pr%20%5Capprox%200.7%24%3B%20for%20water%20%24Pr%20%5Capprox%207%24%3B%20for%20the%20Earth's%20mantle%20%24Pr%20%5Csim%2010%5E%7B23%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%202%20%C2%B7%20Governing%20Equations%0A%0A%20%20%20%20Non-dimensionalising%20with%20%24H%24%2C%20%24H%5E2%2F%5Ckappa%24%2C%20and%20%24%5CDelta%20T%24%2C%20the%0A%20%20%20%20Boussinesq%20equations%20in%20**vorticity%E2%80%93streamfunction**%20form%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Czeta%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%2B%20J(%5Cpsi%2C%20%5Czeta)%20%3D%20Pr%5C%2C%5Cnabla%5E2%5Czeta%20%2B%20Pr%5Ccdot%20Ra%5C%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Ctheta%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%2B%20J(%5Cpsi%2C%20%5Ctheta)%20%3D%20%5Cnabla%5E2%5Ctheta%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cnabla%5E2%20%5Cpsi%20%3D%20-%5Czeta%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Ctheta%24%20is%20the%20**temperature%20deviation**%20from%20the%20linear%20conduction%20profile%2C%0A%20%20%20%20%24%5Czeta%20%3D%20%5Cpartial_x%20v%20-%20%5Cpartial_z%20u%24%20is%20vorticity%2C%20and%20%24%5Cpsi%24%20is%20the%20streamfunction%0A%20%20%20%20with%20%24(u%2Cw)%20%3D%20(-%5Cpartial_z%5Cpsi%2C%5C%2C%20%5Cpartial_x%5Cpsi)%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20Jacobian%20%24J(%5Cpsi%2C%5Ctheta)%20%3D%20%5Cpartial_x%5Cpsi%5C%2C%5Cpartial_z%5Ctheta%20-%20%5Cpartial_z%5Cpsi%5C%2C%5Cpartial_x%5Ctheta%24%0A%20%20%20%20represents%20advection%20of%20temperature%20by%20the%20flow.%0A%0A%20%20%20%20**Boundary%20conditions%20(free-slip%2C%20fixed%20temperature)%3A**%0A%20%20%20%20%24%24z%3D0%2C1%3A%20%5Cquad%20%5Ctheta%20%3D%200%2C%5Cquad%20%5Cpsi%20%3D%200%2C%5Cquad%20%5Czeta%20%3D%200%24%24%0A%20%20%20%20%24%24x%3A%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bperiodic%20with%20period%20%7D%20L%20%3D%202%5Cpi%20%2F%20k_c%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%203%20%C2%B7%20Linear%20Stability%20%26%20Critical%20Rayleigh%20Number%0A%0A%20%20%20%20Linearising%20around%20the%20conduction%20state%20%24(%5Cpsi%2C%20%5Ctheta%2C%20%5Czeta)%20%3D%200%24%0A%20%20%20%20and%20seeking%20normal-mode%20solutions%20%24%5Csim%20e%5E%7B%5Csigma%20t%7D%20%5Csin(kx)%5Csin(%5Cpi%20z)%24%2C%0A%20%20%20%20the%20growth%20rate%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Csigma%20%3D%20%5Cfrac%7BPr%7D%7Bk%5E2%20%2B%20%5Cpi%5E2%7D%5Cleft%5B%5Cfrac%7BRa%5C%2C%20k%5E2%7D%7Bk%5E2%20%2B%20%5Cpi%5E2%7D%20-%20(k%5E2%20%2B%20%5Cpi%5E2)%5Cright%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Convection%20onset%20(%24%5Csigma%20%3D%200%24)%20requires%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24Ra_c(k)%20%3D%20%5Cfrac%7B(k%5E2%20%2B%20%5Cpi%5E2)%5E3%7D%7Bk%5E2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Minimising%20over%20horizontal%20wavenumber%20%24k%24%20gives%20the%20**critical%20Rayleigh%20number**%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24Ra_c%20%3D%20%5Cfrac%7B27%5Cpi%5E4%7D%7B4%7D%20%5Capprox%20657.5%20%5Cqquad%20%5Ctext%7Bat%7D%20%5Cqquad%20k_c%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20aspect%20ratio%20of%20the%20first%20unstable%20roll%20is%20%24L%2FH%20%3D%202%5Cpi%2Fk_c%20%3D%202%5Csqrt%7B2%7D%20%5Capprox%202.83%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20np.linspace(0.3%2C%205%2C%20400)%0A%20%20%20%20_Ra_c_k%20%3D%20((_k**2%20%2B%20np.pi**2)**3)%20%2F%20_k**2%0A%20%20%20%20_k_crit%20%3D%20np.pi%20%2F%20np.sqrt(2)%0A%20%20%20%20_Ra_crit%20%3D%2027%20*%20np.pi**4%20%2F%204%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7%2C%204))%0A%20%20%20%20_ax.plot(_k%2C%20_Ra_c_k%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22%232563eb%22)%0A%20%20%20%20_ax.axhline(_Ra_crit%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20lw%3D1.5%2C%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24Ra_c%20%3D%2027%5C%5Cpi%5E4%2F4%20%5C%5Capprox%20%7B_Ra_crit%3A.0f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(_k_crit%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20lw%3D1.2%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Horizontal%20wavenumber%20%24k%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22%24Ra_c(k)%24%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22Neutral%20stability%20curve%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(0%2C%203000)%0A%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(f%22%24k_c%20%3D%20%5C%5Cpi%2F%5C%5Csqrt%7B%7B2%7D%7D%20%5C%5Capprox%20%7B_k_crit%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(_k_crit%2C%20_Ra_crit)%2C%20xytext%3D(_k_crit%20%2B%200.5%2C%20_Ra_crit%20%2B%20300)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22-%3E%22%2C%20color%3D%22gray%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%204%20%C2%B7%20The%20Lorenz%201963%20Truncation%0A%0A%20%20%20%20Following%20Saltzman%20(1962)%20and%20Lorenz%20(1963)%2C%20we%20keep%20only%20the%20**three%20most%0A%20%20%20%20energetic%20Fourier%20modes**%20consistent%20with%20the%20boundary%20conditions.%0A%20%20%20%20Writing%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cpsi%20%3D%20%5Csqrt%7B2%7D%5C%2C%5Cfrac%7B(1%2Ba%5E2)%7D%7Ba%7D%20X(t)%5C%2C%20%5Csin%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%20a%20x%7D%7BH%7D%5Cright)%5Csin%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%20z%7D%7BH%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctheta%20%3D%20%5Csqrt%7B2%7D%5C%2C%5Cfrac%7BRa_c%7D%7BRa%7D%5C%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csigma%7D%20Y(t)%5Ccos%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%20a%20x%7D%7BH%7D%5Cright)%5Csin%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%20z%7D%7BH%7D%5Cright)%20-%20%5Cfrac%7BRa_c%7D%7BRa%7D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csigma%7D%20Z(t)%5Csin%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20z%7D%7BH%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20and%20substituting%20into%20the%20governing%20equations%2C%20all%20other%20modes%20are%20discarded.%0A%20%20%20%20The%20three%20amplitudes%20%24(X%2C%20Y%2C%20Z)%24%20satisfy%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cdot%7BX%7D%20%3D%20%5Csigma(Y%20-%20X)%24%24%0A%20%20%20%20%24%24%5Cdot%7BY%7D%20%3D%20rX%20-%20Y%20-%20XZ%24%24%0A%20%20%20%20%24%24%5Cdot%7BZ%7D%20%3D%20XY%20-%20b%20Z%24%24%0A%0A%20%20%20%20with%20%24%5Csigma%20%3D%20Pr%24%2C%20%24r%20%3D%20Ra%2FRa_c%24%2C%20and%20%24b%20%3D%208%2F3%24%20(from%20geometry).%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Variable%20%7C%20Physical%20meaning%20%7C%0A%20%20%20%20%7C----------%7C-----------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24X%24%20%7C%20Intensity%20of%20convective%20circulation%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Y%24%20%7C%20Temperature%20difference%20between%20ascending%20and%20descending%20fluid%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Z%24%20%7C%20Distortion%20of%20the%20vertical%20temperature%20profile%20from%20linearity%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24r%20%3D%20Ra%2FRa_c%24%20%7C%20Reduced%20Rayleigh%20number%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**Fixed%20points%3A**%0A%20%20%20%20-%20%24(0%2C0%2C0)%24%3A%20conduction%20state%20%E2%80%94%20stable%20for%20%24r%20%3C%201%24%0A%20%20%20%20-%20%24(%5Cpm%5Csqrt%7Bb(r-1)%7D%2C%5C%2C%20%5Cpm%5Csqrt%7Bb(r-1)%7D%2C%5C%2C%20r-1)%24%3A%20convection%20rolls%20%E2%80%94%20exist%20for%20%24r%20%3E%201%24%0A%0A%20%20%20%20For%20%24r%20%3E%20r_H%20%5Capprox%2024.74%24%20(with%20%24%5Csigma%3D10%24%2C%20%24b%3D8%2F3%24)%2C%20the%20convective%20fixed%20points%0A%20%20%20%20also%20become%20unstable%20and%20the%20system%20enters%20**chaos**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%205%20%C2%B7%20Interactive%20Lorenz%20Model%0A%0A%20%20%20%20Adjust%20the%20parameters%20and%20press%20**%E2%96%B6%20Run%20Lorenz**%20to%20integrate%20the%20system.%0A%20%20%20%20Try%20%24r%20%3D%2028%24%2C%20%24%5Csigma%20%3D%2010%24%2C%20%24b%20%3D%208%2F3%24%20for%20the%20classic%20butterfly%20attractor.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20get_lorenz%2C%20set_lorenz%20%3D%20mo.state(None)%0A%20%20%20%20return%20get_lorenz%2C%20set_lorenz%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20lorenz_sigma%20%3D%20mo.ui.slider(1.0%2C%2020.0%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D10.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24%5C%5Csigma%24%20(Prandtl)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20lorenz_r%20%20%20%20%20%3D%20mo.ui.slider(0.5%2C%2060.0%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D28.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24r%20%3D%20Ra%2FRa_c%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20lorenz_b%20%20%20%20%20%3D%20mo.ui.slider(0.5%2C%204.0%2C%20step%3D1%2F6%2C%20value%3D8%2F3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24b%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20lorenz_T%20%20%20%20%20%3D%20mo.ui.slider(10%2C%20100%2C%20step%3D5%2C%20value%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Integration%20time%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20lorenz_ntrj%20%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%205%2C%20step%3D1%2C%20value%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Trajectories%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Blorenz_sigma%2C%20lorenz_r%2C%20lorenz_b%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Blorenz_T%2C%20lorenz_ntrj%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20lorenz_T%2C%20lorenz_b%2C%20lorenz_ntrj%2C%20lorenz_r%2C%20lorenz_sigma%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20lorenz_btn%20%3D%20mo.ui.run_button(label%3D%22%E2%96%B6%20%20Run%20Lorenz%22)%0A%20%20%20%20lorenz_btn%0A%20%20%20%20return%20(lorenz_btn%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20lorenz_T%2C%0A%20%20%20%20lorenz_b%2C%0A%20%20%20%20lorenz_btn%2C%0A%20%20%20%20lorenz_ntrj%2C%0A%20%20%20%20lorenz_r%2C%0A%20%20%20%20lorenz_sigma%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20set_lorenz%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mo.stop(not%20lorenz_btn.value%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Press%20**%E2%96%B6%20Run%20Lorenz**%20above%20to%20integrate.%22)%2C%20kind%3D%22info%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_sigma%20%3D%20lorenz_sigma.value%0A%20%20%20%20_r%20%20%20%20%20%3D%20lorenz_r.value%0A%20%20%20%20_b%20%20%20%20%20%3D%20lorenz_b.value%0A%20%20%20%20_T%20%20%20%20%20%3D%20lorenz_T.value%0A%20%20%20%20_n%20%20%20%20%20%3D%20lorenz_ntrj.value%0A%0A%20%20%20%20def%20_lorenz_rhs(state%2C%20s%2C%20r%2C%20b)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%20y%2C%20z%20%3D%20state%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(%5Bs*(y%20-%20x)%2C%20r*x%20-%20y%20-%20x*z%2C%20x*y%20-%20b*z%5D)%0A%0A%20%20%20%20def%20_rk4(state%2C%20dt%2C%20s%2C%20r%2C%20b)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k1%20%3D%20_lorenz_rhs(state%2C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%2C%20r%2C%20b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k2%20%3D%20_lorenz_rhs(state%20%2B%200.5*dt*k1%2C%20s%2C%20r%2C%20b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k3%20%3D%20_lorenz_rhs(state%20%2B%200.5*dt*k2%2C%20s%2C%20r%2C%20b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k4%20%3D%20_lorenz_rhs(state%20%2B%20dt*k3%2C%20%20%20%20%20%20s%2C%20r%2C%20b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20state%20%2B%20(dt%2F6)*(k1%20%2B%202*k2%20%2B%202*k3%20%2B%20k4)%0A%0A%20%20%20%20_dt%20%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20_nt%20%20%3D%20int(_T%20%2F%20_dt)%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(42)%0A%0A%20%20%20%20_trajectories%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(_n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Slightly%20perturbed%20initial%20conditions%20around%20the%20attractor%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ic%20%3D%20np.array(%5B1.0%2C%201.0%2C%201.0%5D)%20%2B%20_rng.normal(0%2C%200.5%2C%203)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_traj%20%3D%20np.zeros((_nt%20%2B%201%2C%203))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_traj%5B0%5D%20%3D%20_ic%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_s%20in%20range(_nt)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_traj%5B_s%2B1%5D%20%3D%20_rk4(_traj%5B_s%5D%2C%20_dt%2C%20_sigma%2C%20_r%2C%20_b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_trajectories.append(_traj)%0A%0A%20%20%20%20_t_arr%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_T%2C%20_nt%20%2B%201)%0A%20%20%20%20set_lorenz(%7B%22trajectories%22%3A%20_trajectories%2C%20%22t%22%3A%20_t_arr%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22sigma%22%3A%20_sigma%2C%20%22r%22%3A%20_r%2C%20%22b%22%3A%20_b%7D)%0A%0A%20%20%20%20mo.callout(mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**Done.**%20Integrated%20%7B_n%7D%20trajectory%2Fies%20for%20%24t%20%5C%5Cin%20%5B0%2C%20%7B_T%7D%5D%24%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22with%20%24%5C%5Csigma%3D%7B_sigma%7D%24%2C%20%24r%3D%7B_r%7D%24%2C%20%24b%3D%7B_b%3A.2f%7D%24.%22%0A%20%20%20%20)%2C%20kind%3D%22success%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(get_lorenz%2C%20mo%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_data%20%3D%20get_lorenz()%0A%20%20%20%20mo.stop(_data%20is%20None%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Lorenz%20results%20will%20appear%20here%20after%20running.%22)%2C%20kind%3D%22warn%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_trajs%20%3D%20_data%5B%22trajectories%22%5D%0A%20%20%20%20_t%20%20%20%20%20%3D%20_data%5B%22t%22%5D%0A%20%20%20%20_r%20%20%20%20%20%3D%20_data%5B%22r%22%5D%0A%20%20%20%20_sigma%20%3D%20_data%5B%22sigma%22%5D%0A%20%20%20%20_b%20%20%20%20%20%3D%20_data%5B%22b%22%5D%0A%20%20%20%20_colors%20%3D%20%5B%22%232563eb%22%2C%20%22crimson%22%2C%20%22%2316a34a%22%2C%20%22%23d97706%22%2C%20%22%237c3aed%22%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(2%2C%203%2C%20figsize%3D(13%2C%208))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Phase%20portraits%0A%20%20%20%20for%20_idx%2C%20_traj%20in%20enumerate(_trajs)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c%20%3D%20_colors%5B_idx%20%25%20len(_colors)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_skip%20%3D%20max(1%2C%20len(_t)%2F%2F2000)%20%20%20%23%20downsample%20for%20speed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%20_y%2C%20_z%20%3D%20_traj%5B%3A%3A_skip%2C%200%5D%2C%20_traj%5B%3A%3A_skip%2C%201%5D%2C%20_traj%5B%3A%3A_skip%2C%202%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%2C0%5D.plot(_x%2C%20_y%2C%20lw%3D0.4%2C%20alpha%3D0.7%2C%20color%3D_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%2C1%5D.plot(_x%2C%20_z%2C%20lw%3D0.4%2C%20alpha%3D0.7%2C%20color%3D_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%2C2%5D.plot(_y%2C%20_z%2C%20lw%3D0.4%2C%20alpha%3D0.7%2C%20color%3D_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Time%20series%20(full%20resolution%2C%20first%20trajectory%20only)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_idx%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%2C0%5D.plot(_t%2C%20_traj%5B%3A%2C0%5D%2C%20lw%3D0.7%2C%20color%3D_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%2C1%5D.plot(_t%2C%20_traj%5B%3A%2C1%5D%2C%20lw%3D0.7%2C%20color%3D_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%2C2%5D.plot(_t%2C%20_traj%5B%3A%2C2%5D%2C%20lw%3D0.7%2C%20color%3D_c)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C0%5D.set_xlabel(%22%24X%24%22)%3B%20_axes%5B0%2C0%5D.set_ylabel(%22%24Y%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C1%5D.set_xlabel(%22%24X%24%22)%3B%20_axes%5B0%2C1%5D.set_ylabel(%22%24Z%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%2C2%5D.set_xlabel(%22%24Y%24%22)%3B%20_axes%5B0%2C2%5D.set_ylabel(%22%24Z%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C0%5D.set_xlabel(%22%24t%24%22)%3B%20_axes%5B1%2C0%5D.set_ylabel(%22%24X%24%20(flow%20intensity)%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C1%5D.set_xlabel(%22%24t%24%22)%3B%20_axes%5B1%2C1%5D.set_ylabel(%22%24Y%24%20(temp.%20contrast)%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%2C2%5D.set_xlabel(%22%24t%24%22)%3B%20_axes%5B1%2C2%5D.set_ylabel(%22%24Z%24%20(profile%20distortion)%22)%0A%0A%20%20%20%20for%20_ax%20in%20_axes%5B0%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%20%20%20%20for%20_ax%20in%20_axes%5B1%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%0A%20%20%20%20_title%20%3D%20f%22Lorenz%20system%20%20(%24%5C%5Csigma%3D%7B_sigma%7D%24%2C%20%20%24r%3D%7B_r%7D%24%2C%20%20%24b%3D%7B_b%3A.2f%7D%24)%22%0A%20%20%20%20_fig.suptitle(_title%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%206%20%C2%B7%20Sensitivity%20to%20Initial%20Conditions%0A%0A%20%20%20%20The%20butterfly%20attractor%20owes%20its%20fame%20to%20**chaos**%3A%20exponential%20divergence%20of%0A%20%20%20%20nearby%20trajectories.%20Below%20we%20integrate%20two%20trajectories%20that%20start%20%24%5Cepsilon%24%0A%20%20%20%20apart%20and%20track%20their%20separation%20%24%5C%7C%5Cdelta%5Cmathbf%7Bu%7D(t)%5C%7C%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20average%20rate%20of%20separation%20is%20characterised%20by%20the%20**largest%20Lyapunov%20exponent**%0A%20%20%20%20%24%5Clambda_1%24.%20For%20the%20classic%20Lorenz%20parameters%20%24%5Clambda_1%20%5Capprox%200.906%24%2C%20meaning%0A%20%20%20%20errors%20double%20roughly%20every%20%24%5Cln%202%2F%5Clambda_1%20%5Capprox%200.77%24%20time%20units.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(get_lorenz%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_data%20%3D%20get_lorenz()%0A%20%20%20%20mo.stop(_data%20is%20None%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Run%20the%20Lorenz%20model%20above%20first.%22)%2C%20kind%3D%22warn%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_sigma%20%3D%20_data%5B%22sigma%22%5D%3B%20_r%20%3D%20_data%5B%22r%22%5D%3B%20_b%20%3D%20_data%5B%22b%22%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20_rhs(s%2C%20si%2C%20ri%2C%20bi)%3A%20return%20np.array(%5Bsi*(s%5B1%5D-s%5B0%5D)%2C%20ri*s%5B0%5D-s%5B1%5D-s%5B0%5D*s%5B2%5D%2C%20s%5B0%5D*s%5B1%5D-bi*s%5B2%5D%5D)%0A%20%20%20%20def%20_rk4s(s%2C%20dt%2C%20si%2C%20ri%2C%20bi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k1%3D_rhs(s%2Csi%2Cri%2Cbi)%3B%20k2%3D_rhs(s%2B0.5*dt*k1%2Csi%2Cri%2Cbi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k3%3D_rhs(s%2B0.5*dt*k2%2Csi%2Cri%2Cbi)%3B%20k4%3D_rhs(s%2Bdt*k3%2Csi%2Cri%2Cbi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20s%2B(dt%2F6)*(k1%2B2*k2%2B2*k3%2Bk4)%0A%0A%20%20%20%20_dt%20%3D%200.01%3B%20_T%20%3D%2020%3B%20_nt%20%3D%20int(_T%2F_dt)%0A%20%20%20%20_eps%20%3D%201e-8%0A%20%20%20%20_ic1%20%3D%20np.array(%5B1.0%2C%201.0%2C%201.0%5D)%0A%20%20%20%20_ic2%20%3D%20_ic1%20%2B%20np.array(%5B_eps%2C%200%2C%200%5D)%0A%0A%20%20%20%20_s1%20%3D%20np.zeros((_nt%2B1%2C%203))%3B%20_s2%20%3D%20np.zeros((_nt%2B1%2C%203))%0A%20%20%20%20_s1%5B0%5D%20%3D%20_ic1%3B%20_s2%5B0%5D%20%3D%20_ic2%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(_nt)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s1%5B_i%2B1%5D%20%3D%20_rk4s(_s1%5B_i%5D%2C%20_dt%2C%20_sigma%2C%20_r%2C%20_b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s2%5B_i%2B1%5D%20%3D%20_rk4s(_s2%5B_i%5D%2C%20_dt%2C%20_sigma%2C%20_r%2C%20_b)%0A%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_T%2C%20_nt%2B1)%0A%20%20%20%20_sep%20%3D%20np.linalg.norm(_s1%20-%20_s2%2C%20axis%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_fig2%2C%20_axes2%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20_axes2%5B0%5D.plot(_t%2C%20_s1%5B%3A%2C0%5D%2C%20lw%3D1%2C%20label%3D%22trajectory%201%22)%0A%20%20%20%20_axes2%5B0%5D.plot(_t%2C%20_s2%5B%3A%2C0%5D%2C%20lw%3D1%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20label%3Df%22trajectory%201%20%2B%20%2410%5E%7B%7B-8%7D%7D%24%22%2C%20alpha%3D0.8)%0A%20%20%20%20_axes2%5B0%5D.set_xlabel(%22%24t%24%22)%3B%20_axes2%5B0%5D.set_ylabel(%22%24X%24%22)%0A%20%20%20%20_axes2%5B0%5D.set_title(%22Two%20initially%20close%20trajectories%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_axes2%5B0%5D.legend(fontsize%3D9)%3B%20_axes2%5B0%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_valid%20%3D%20_sep%20%3E%201e-15%0A%20%20%20%20_axes2%5B1%5D.semilogy(_t%5B_valid%5D%2C%20_sep%5B_valid%5D%2C%20lw%3D1.5%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20label%3D%22%24%5C%5C%7C%5C%5Cdelta%20u(t)%5C%5C%7C%24%22)%0A%20%20%20%20%23%20Fit%20slope%20in%20the%20linear-growth%20region%20(roughly%20t%3D2..10)%0A%20%20%20%20_mask%20%3D%20(_t%20%3E%202)%20%26%20(_t%20%3C%2010)%20%26%20_valid%0A%20%20%20%20if%20_mask.sum()%20%3E%205%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lam%20%3D%20np.polyfit(_t%5B_mask%5D%2C%20np.log(_sep%5B_mask%5D)%2C%201)%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes2%5B1%5D.semilogy(_t%5B_mask%5D%2C%20np.exp(np.log(_sep%5B_mask%5D%5B0%5D)%20%2B%20_lam*(_t%5B_mask%5D-_t%5B_mask%5D%5B0%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22k--%22%2C%20lw%3D1.2%2C%20label%3Df%22slope%20%24%5C%5Clambda_1%20%5C%5Capprox%20%7B_lam%3A.2f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_axes2%5B1%5D.set_xlabel(%22%24t%24%22)%3B%20_axes2%5B1%5D.set_ylabel(%22Separation%20%24%5C%5C%7C%5C%5Cdelta%20u%5C%5C%7C%24%22)%0A%20%20%20%20_axes2%5B1%5D.set_title(%22Exponential%20error%20growth%20(Lyapunov)%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20_axes2%5B1%5D.legend(fontsize%3D9)%3B%20_axes2%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig2%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%207%20%C2%B7%20Full%202D%20Rayleigh%E2%80%93B%C3%A9nard%20Simulation%0A%0A%20%20%20%20We%20now%20solve%20the%20full%202D%20Boussinesq%20equations%20numerically%20using%20a%0A%20%20%20%20**pseudo-spectral%20method**%3A%20FFT%20in%20the%20(periodic)%20horizontal%20direction%20%24x%24%2C%0A%20%20%20%20finite-differences%20in%20the%20vertical%20direction%20%24z%24%2C%20and%20RK4%20time-stepping.%0A%0A%20%20%20%20The%20domain%20is%20%24%5B0%2C%20L%5D%20%5Ctimes%20%5B0%2C%201%5D%24%20with%20%24L%20%3D%202%5Csqrt%7B2%7D%24%20(two%20critical-wavelength%20rolls).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20get_rb2d%2C%20set_rb2d%20%3D%20mo.state(None)%0A%20%20%20%20return%20get_rb2d%2C%20set_rb2d%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20rb_Ra%20%20%3D%20mo.ui.slider(500%2C%205000%2C%20step%3D100%2C%20value%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Rayleigh%20number%20%24Ra%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20rb_Pr%20%20%3D%20mo.ui.slider(0.1%2C%2010.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Prandtl%20%24Pr%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20rb_nx%20%20%3D%20mo.ui.slider(32%2C%20128%2C%20step%3D32%2C%20value%3D64%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Grid%20%24n_x%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20rb_nz%20%20%3D%20mo.ui.slider(16%2C%2064%2C%20step%3D16%2C%20value%3D32%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Grid%20%24n_z%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20rb_T%20%20%20%3D%20mo.ui.slider(0.05%2C%201.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Run%20time%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Brb_Ra%2C%20rb_Pr%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Brb_nx%2C%20rb_nz%2C%20rb_T%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3E%20**Tip%3A**%20For%20browser%2FWASM%2C%20use%20%24n_x%20%5Cleq%2064%24%2C%20%24n_z%20%5Cleq%2032%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3E%20%24Ra%20%3C%20Ra_c%20%5Capprox%20658%24%20%E2%86%92%20no%20convection%3B%20%24Ra%20%5Cgg%20Ra_c%24%20%E2%86%92%20vigorous%20turbulence.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20rb_Pr%2C%20rb_Ra%2C%20rb_T%2C%20rb_nx%2C%20rb_nz%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20rb_btn%20%3D%20mo.ui.run_button(label%3D%22%E2%96%B6%20%20Run%202D%20Simulation%22)%0A%20%20%20%20rb_btn%0A%20%20%20%20return%20(rb_btn%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20rb_Pr%2C%20rb_Ra%2C%20rb_T%2C%20rb_btn%2C%20rb_nx%2C%20rb_nz%2C%20set_rb2d)%3A%0A%20%20%20%20mo.stop(not%20rb_btn.value%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Press%20**%E2%96%B6%20Run%202D%20Simulation**%20to%20start.%22)%2C%20kind%3D%22info%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20_np2%0A%0A%20%20%20%20_Ra%20%3D%20rb_Ra.value%0A%20%20%20%20_Pr%20%3D%20rb_Pr.value%0A%20%20%20%20_nx%20%3D%20rb_nx.value%0A%20%20%20%20_nz%20%3D%20rb_nz.value%0A%20%20%20%20_Lx%20%3D%202%20*%20_np2.sqrt(2)%20%20%20%23%20two%20critical%20rolls%0A%20%20%20%20_run_T%20%3D%20rb_T.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Grid%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_dx%20%3D%20_Lx%20%2F%20_nx%0A%20%20%20%20_dz%20%3D%201.0%20%2F%20(_nz%20%2B%201)%20%20%20%20%23%20interior%20z%20points%20only%20(Dirichlet%20at%200%20and%201)%0A%20%20%20%20_x%20%20%3D%20_np2.linspace(0%2C%20_Lx%2C%20_nx%2C%20endpoint%3DFalse)%0A%20%20%20%20_z%20%20%3D%20_np2.linspace(_dz%2C%201%20-%20_dz%2C%20_nz)%20%20%20%23%20interior%20z%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Wavenumbers%20(x%20is%20periodic)%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_kx%20%20%3D%20_np2.fft.rfftfreq(_nx%2C%20d%3D_Lx%20%2F%20(2%20*%20_np2.pi%20*%20_nx))%20%20%20%23%20physical%20kx%0A%20%20%20%20_nkx%20%3D%20len(_kx)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Vertical%20second-derivative%20matrix%20(Dirichlet%20BCs)%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20%23%20d%C2%B2%2Fdz%C2%B2%20with%20zero%20BCs%3A%20tridiagonal%201%2Fdz%C2%B2%20*%20(-2%20on%20diag%2C%201%20off-diag)%0A%20%20%20%20_D2z%20%3D%20(_np2.diag(-2%20*%20_np2.ones(_nz))%20%2B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_np2.diag(_np2.ones(_nz%20-%201)%2C%201)%20%2B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_np2.diag(_np2.ones(_nz%20-%201)%2C%20-1))%20%2F%20_dz**2%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Poisson%20solver%3A%20(%E2%88%82%C2%B2%2F%E2%88%82x%C2%B2%20%2B%20%E2%88%82%C2%B2%2F%E2%88%82z%C2%B2)%CF%88%CC%82_k%20%3D%20-%CE%B6%CC%82_k%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20%23%20For%20each%20kx%20mode%2C%20invert%20(%E2%88%92kx%C2%B2I%20%2B%20D2z)%20by%20LU%0A%20%20%20%20from%20scipy.linalg%20import%20lu_factor%2C%20lu_solve%20as%20_lu_solve%0A%0A%20%20%20%20_poisson_lu%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_ik%20in%20range(_nkx)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_A%20%3D%20_D2z%20-%20_kx%5B_ik%5D**2%20*%20_np2.eye(_nz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_ik%20%3D%3D%200%3A%20%20%23%20zero%20mode%3A%20fix%20gauge%20(mean%20%CF%88%3D0)%2C%20replace%20first%20row%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_A%5B0%2C%20%3A%5D%20%3D%200%3B%20_A%5B0%2C%200%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_poisson_lu.append(lu_factor(_A))%0A%0A%20%20%20%20def%20_solve_poisson(rhs_hat)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Solve%20for%20%CF%88%CC%82_k%20given%20RHS%20in%20spectral-z%20space%20(shape%20nkx%C3%97nz).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_out%20%3D%20_np2.zeros_like(rhs_hat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_ik%20in%20range(_nkx)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_b%20%3D%20rhs_hat%5B_ik%5D.copy()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_ik%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_b%5B0%5D%20%3D%200%20%20%20%23%20fix%20gauge%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_out%5B_ik%5D%20%3D%20_lu_solve(_poisson_lu%5B_ik%5D%2C%20_b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_out%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Derivatives%20in%20x%20via%20FFT%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20def%20_dx_fft(f)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22d%2Fdx%20via%20FFT%20(f%20shape%3A%20nx%C3%97nz).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fh%20%3D%20_np2.fft.rfft(f%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_np2.fft.irfft(1j%20*%20_kx%5B%3A%2C%20None%5D%20*%20fh%2C%20n%3D_nx%2C%20axis%3D0)%0A%0A%20%20%20%20def%20_lap_fft(f)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E2%88%87%C2%B2%20f%20via%20FFT%20in%20x%2C%20FD%20in%20z.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fh%20%3D%20_np2.fft.rfft(f%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20d%C2%B2f%2Fdx%C2%B2%20%2B%20d%C2%B2f%2Fdz%C2%B2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d2x%20%3D%20_np2.fft.irfft(-_kx%5B%3A%2C%20None%5D**2%20*%20fh%2C%20n%3D_nx%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d2z%20%3D%20_np2.zeros_like(f)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d2z%5B%3A%2C%201%3A-1%5D%20%3D%20(f%5B%3A%2C%20%3A-2%5D%20-%202*f%5B%3A%2C%201%3A-1%5D%20%2B%20f%5B%3A%2C%202%3A%5D)%20%2F%20_dz**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d2z%5B%3A%2C%200%5D%20%20%20%20%3D%20(-2*f%5B%3A%2C%200%5D%20%20%2B%20f%5B%3A%2C%201%5D)%20%20%20%20%2F%20_dz**2%20%20%20%23%20ghost%20%3D%200%20at%20z%3D0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d2z%5B%3A%2C%20-1%5D%20%20%20%3D%20(f%5B%3A%2C%20-2%5D%20-%202*f%5B%3A%2C%20-1%5D)%20%20%20%20%2F%20_dz**2%20%20%20%23%20ghost%20%3D%200%20at%20z%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20d2x%20%2B%20d2z%0A%0A%20%20%20%20def%20_vort_from_psi(psi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%CE%B6%20%3D%20%E2%88%92%E2%88%87%C2%B2%CF%88.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-_lap_fft(psi)%0A%0A%20%20%20%20def%20_psi_from_vort(zeta)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Solve%20%E2%88%87%C2%B2%CF%88%20%3D%20%E2%88%92%CE%B6%20spectrally.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rhs%20%3D%20_np2.fft.rfft(-zeta%2C%20axis%3D0)%20%20%20%23%20shape%20nkx%C3%97nz%0A%20%20%20%20%20%20%20%20psi_hat%20%3D%20_solve_poisson(rhs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_np2.fft.irfft(psi_hat%2C%20n%3D_nx%2C%20axis%3D0)%0A%0A%20%20%20%20def%20_jacobian(psi%2C%20f)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22J(%CF%88%2Cf)%20%3D%20%E2%88%82%CF%88%2F%E2%88%82x%20%E2%88%82f%2F%E2%88%82z%20%E2%88%92%20%E2%88%82%CF%88%2F%E2%88%82z%20%E2%88%82f%2F%E2%88%82x%20%20(FD%20in%20z%2C%20FFT%20in%20x).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpsi_dx%20%3D%20_dx_fft(psi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpsi_dz%20%3D%20_np2.zeros_like(psi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpsi_dz%5B%3A%2C%201%3A-1%5D%20%3D%20(psi%5B%3A%2C%202%3A%5D%20-%20psi%5B%3A%2C%20%3A-2%5D)%20%2F%20(2*_dz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpsi_dz%5B%3A%2C%200%5D%20%20%20%20%3D%20psi%5B%3A%2C%201%5D%20%2F%20(2*_dz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpsi_dz%5B%3A%2C%20-1%5D%20%20%20%3D%20-psi%5B%3A%2C%20-2%5D%20%2F%20(2*_dz)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20df_dx%20%3D%20_dx_fft(f)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20df_dz%20%3D%20_np2.zeros_like(f)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20df_dz%5B%3A%2C%201%3A-1%5D%20%3D%20(f%5B%3A%2C%202%3A%5D%20-%20f%5B%3A%2C%20%3A-2%5D)%20%2F%20(2*_dz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20df_dz%5B%3A%2C%200%5D%20%20%20%20%3D%20f%5B%3A%2C%201%5D%20%2F%20(2*_dz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20df_dz%5B%3A%2C%20-1%5D%20%20%20%3D%20-f%5B%3A%2C%20-2%5D%20%2F%20(2*_dz)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20dpsi_dx%20*%20df_dz%20-%20dpsi_dz%20*%20df_dx%0A%0A%20%20%20%20def%20_rhs_rb(zeta%2C%20theta%2C%20psi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22RHS%20of%20the%20vorticity%20and%20temperature%20equations.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d_zeta%20%20%3D%20-_jacobian(psi%2C%20zeta)%20%2B%20_Pr%20*%20_lap_fft(zeta)%20%2B%20_Pr%20*%20_Ra%20*%20_dx_fft(theta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d_theta%20%3D%20-_jacobian(psi%2C%20theta)%20%2B%20_lap_fft(theta)%20%2B%20_dx_fft(psi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20d_zeta%2C%20d_theta%0A%0A%20%20%20%20def%20_step_rb(zeta%2C%20theta%2C%20dt)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20psi1%20%3D%20_psi_from_vort(zeta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dz1%2C%20dt1%20%3D%20_rhs_rb(zeta%2C%20theta%2C%20psi1)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zeta2%20%3D%20zeta%20%2B%200.5*dt*dz1%3B%20theta2%20%3D%20theta%20%2B%200.5*dt*dt1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20psi2%20%20%3D%20_psi_from_vort(zeta2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dz2%2C%20dt2%20%3D%20_rhs_rb(zeta2%2C%20theta2%2C%20psi2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zeta3%20%3D%20zeta%20%2B%200.5*dt*dz2%3B%20theta3%20%3D%20theta%20%2B%200.5*dt*dt2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20psi3%20%20%3D%20_psi_from_vort(zeta3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dz3%2C%20dt3%20%3D%20_rhs_rb(zeta3%2C%20theta3%2C%20psi3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zeta4%20%3D%20zeta%20%2B%20dt*dz3%3B%20theta4%20%3D%20theta%20%2B%20dt*dt3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20psi4%20%20%3D%20_psi_from_vort(zeta4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dz4%2C%20dt4%20%3D%20_rhs_rb(zeta4%2C%20theta4%2C%20psi4)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20new_z%20%3D%20zeta%20%20%2B%20(dt%2F6)*(dz1%20%2B%202*dz2%20%2B%202*dz3%20%2B%20dz4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20new_t%20%3D%20theta%20%2B%20(dt%2F6)*(dt1%20%2B%202*dt2%20%2B%202*dt3%20%2B%20dt4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20new_z%2C%20new_t%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Initial%20condition%3A%20small%20random%20perturbation%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_rng2%20%3D%20_np2.random.default_rng(7)%0A%20%20%20%20_theta%20%3D%201e-3%20*%20_rng2.standard_normal((_nx%2C%20_nz))%0A%20%20%20%20_zeta%20%20%3D%20_np2.zeros((_nx%2C%20_nz))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20CFL-based%20dt%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_dt%20%3D%200.2%20*%20min(_dx%2C%20_dz)**2%20%20%20%23%20diffusive%20CFL%0A%20%20%20%20_nsteps%20%3D%20int(_run_T%20%2F%20_dt)%0A%20%20%20%20_nsubs%20%20%3D%20max(1%2C%20_nsteps%20%2F%2F%2080)%20%20%20%23%20~80%20saved%20frames%0A%0A%20%20%20%20_snaps_th%20%3D%20%5B%5D%3B%20_snaps_psi%20%3D%20%5B%5D%3B%20_t_hist2%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_t2%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20for%20_s%20in%20range(_nsteps%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_s%20%25%20_nsubs%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_t_hist2.append(_t2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_snaps_th.append(_theta.copy())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_snaps_psi.append(_psi_from_vort(_zeta).copy())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_s%20%3C%20_nsteps%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_zeta%2C%20_theta%20%3D%20_step_rb(_zeta%2C%20_theta%2C%20_dt)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_t2%20%2B%3D%20_dt%0A%0A%20%20%20%20set_rb2d(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22snaps_th%22%3A%20%20_snaps_th%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22snaps_psi%22%3A%20_snaps_psi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22t_hist%22%3A%20%20%20%20_np2.array(_t_hist2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20_x%2C%20%22z%22%3A%20_z%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Ra%22%3A%20_Ra%2C%20%22Pr%22%3A%20_Pr%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20mo.callout(mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**Done.**%20%24Ra%3D%7B_Ra%7D%24%2C%20%24Pr%3D%7B_Pr%7D%24%2C%20grid%20%7B_nx%7D%C3%97%7B_nz%7D%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B_nsteps%7D%20steps%20%E2%86%92%20%7Blen(_snaps_th)%7D%20snapshots.%22%0A%20%20%20%20)%2C%20kind%3D%22success%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(get_rb2d%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_sim%20%3D%20get_rb2d()%0A%20%20%20%20mo.stop(_sim%20is%20None%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%222D%20results%20appear%20here%20after%20running.%22)%2C%20kind%3D%22warn%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_th%20%20%3D%20_sim%5B%22snaps_th%22%5D%0A%20%20%20%20_psi%20%3D%20_sim%5B%22snaps_psi%22%5D%0A%20%20%20%20_t%20%20%20%3D%20_sim%5B%22t_hist%22%5D%0A%20%20%20%20_x%20%20%20%3D%20_sim%5B%22x%22%5D%3B%20%20_z%20%3D%20_sim%5B%22z%22%5D%0A%20%20%20%20_Ra%20%20%3D%20_sim%5B%22Ra%22%5D%3B%20_Pr%20%3D%20_sim%5B%22Pr%22%5D%0A%20%20%20%20_Ra_c%20%3D%2027%20*%20np.pi**4%20%2F%204%0A%0A%20%20%20%20_fig3%2C%20_axes3%20%3D%20plt.subplots(2%2C%203%2C%20figsize%3D(13%2C%207))%0A%0A%20%20%20%20_XX%2C%20_ZZ%20%3D%20np.meshgrid(_x%2C%20_z%2C%20indexing%3D%22ij%22)%0A%0A%20%20%20%20for%20_col%2C%20_idx%20in%20enumerate(%5B0%2C%20len(_t)%2F%2F2%2C%20-1%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_vm%20%3D%20max(float(np.abs(_th%5B_idx%5D).max())%2C%201e-10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_im%20%3D%20_axes3%5B0%2C%20_col%5D.pcolormesh(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_XX%2C%20_ZZ%2C%20_th%5B_idx%5D%2C%20cmap%3D%22RdBu_r%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20vmin%3D-_vm%2C%20vmax%3D_vm%2C%20shading%3D%22auto%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.colorbar(_im%2C%20ax%3D_axes3%5B0%2C%20_col%5D%2C%20fraction%3D0.046%2C%20label%3D%22%24%5C%5Ctheta%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes3%5B0%2C%20_col%5D.set_title(f%22Temperature%20%20%24t%3D%7B_t%5B_idx%5D%3A.3f%7D%24%22%2C%20fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes3%5B0%2C%20_col%5D.set_xlabel(%22%24x%24%22)%3B%20_axes3%5B0%2C%20_col%5D.set_ylabel(%22%24z%24%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_vm2%20%3D%20max(float(np.abs(_psi%5B_idx%5D).max())%2C%201e-10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_im2%20%3D%20_axes3%5B1%2C%20_col%5D.pcolormesh(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_XX%2C%20_ZZ%2C%20_psi%5B_idx%5D%2C%20cmap%3D%22PuOr%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20vmin%3D-_vm2%2C%20vmax%3D_vm2%2C%20shading%3D%22auto%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.colorbar(_im2%2C%20ax%3D_axes3%5B1%2C%20_col%5D%2C%20fraction%3D0.046%2C%20label%3D%22%24%5C%5Cpsi%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes3%5B1%2C%20_col%5D.set_title(f%22Streamfunction%20%20%24t%3D%7B_t%5B_idx%5D%3A.3f%7D%24%22%2C%20fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes3%5B1%2C%20_col%5D.set_xlabel(%22%24x%24%22)%3B%20_axes3%5B1%2C%20_col%5D.set_ylabel(%22%24z%24%22)%0A%0A%20%20%20%20_fig3.suptitle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%222D%20Rayleigh%E2%80%93B%C3%A9nard%20%20(%24Ra%3D%7B_Ra%7D%24%2C%20%20%24Ra%2FRa_c%3D%7B_Ra%2F_Ra_c%3A.1f%7D%24%2C%20%20%24Pr%3D%7B_Pr%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig3%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Interactive%20snapshot%20browser%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(get_rb2d%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_sim2%20%3D%20get_rb2d()%0A%20%20%20%20mo.stop(_sim2%20is%20None)%0A%20%20%20%20_nsnaps%20%3D%20len(_sim2%5B%22snaps_th%22%5D)%0A%20%20%20%20rb_snap_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%20_nsnaps%20-%201%2C%20step%3D1%2C%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Snapshot%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20return%20(rb_snap_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(get_rb2d%2C%20mo%2C%20np%2C%20rb_snap_slider)%3A%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20_plt4%0A%20%20%20%20_sim3%20%3D%20get_rb2d()%0A%20%20%20%20mo.stop(_sim3%20is%20None)%0A%0A%20%20%20%20_idx2%20%20%3D%20rb_snap_slider.value%0A%20%20%20%20_th2%20%20%20%3D%20_sim3%5B%22snaps_th%22%5D%5B_idx2%5D%0A%20%20%20%20_psi2%20%20%3D%20_sim3%5B%22snaps_psi%22%5D%5B_idx2%5D%0A%20%20%20%20_t2v%20%20%20%3D%20_sim3%5B%22t_hist%22%5D%5B_idx2%5D%0A%20%20%20%20_x2%20%20%20%20%3D%20_sim3%5B%22x%22%5D%3B%20_z2%20%3D%20_sim3%5B%22z%22%5D%0A%20%20%20%20_XX2%2C%20_ZZ2%20%3D%20np.meshgrid(_x2%2C%20_z2%2C%20indexing%3D%22ij%22)%0A%0A%20%20%20%20_fig4%2C%20_ax4%20%3D%20_plt4.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(11%2C%204))%0A%20%20%20%20_vm3%20%3D%20max(float(np.abs(_th2).max())%2C%201e-10)%0A%20%20%20%20_im3%20%3D%20_ax4%5B0%5D.pcolormesh(_XX2%2C%20_ZZ2%2C%20_th2%2C%20cmap%3D%22RdBu_r%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20vmin%3D-_vm3%2C%20vmax%3D_vm3%2C%20shading%3D%22auto%22)%0A%20%20%20%20_plt4.colorbar(_im3%2C%20ax%3D_ax4%5B0%5D%2C%20label%3D%22%24%5C%5Ctheta%24%22%2C%20fraction%3D0.046)%0A%20%20%20%20_ax4%5B0%5D.set_title(f%22Temperature%20deviation%20%20%24t%3D%7B_t2v%3A.4f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax4%5B0%5D.set_xlabel(%22%24x%24%22)%3B%20_ax4%5B0%5D.set_ylabel(%22%24z%24%22)%0A%0A%20%20%20%20_vm4%20%3D%20max(float(np.abs(_psi2).max())%2C%201e-10)%0A%20%20%20%20_im4%20%3D%20_ax4%5B1%5D.pcolormesh(_XX2%2C%20_ZZ2%2C%20_psi2%2C%20cmap%3D%22PuOr%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20vmin%3D-_vm4%2C%20vmax%3D_vm4%2C%20shading%3D%22auto%22)%0A%20%20%20%20_plt4.colorbar(_im4%2C%20ax%3D_ax4%5B1%5D%2C%20label%3D%22%24%5C%5Cpsi%24%22%2C%20fraction%3D0.046)%0A%20%20%20%20_ax4%5B1%5D.set_title(f%22Streamfunction%20%20%24t%3D%7B_t2v%3A.4f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax4%5B1%5D.set_xlabel(%22%24x%24%22)%3B%20_ax4%5B1%5D.set_ylabel(%22%24z%24%22)%0A%0A%20%20%20%20_plt4.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Brb_snap_slider%2C%20_fig4%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%208%20%C2%B7%20Connecting%20the%20Full%202D%20Simulation%20to%20the%20Lorenz%20Model%0A%0A%20%20%20%20The%20three%20Lorenz%20variables%20%24(X%2C%20Y%2C%20Z)%24%20can%20be%20extracted%20from%20the%202D%20simulation%0A%20%20%20%20by%20projecting%20the%20fields%20onto%20the%20first%20Fourier%E2%80%93sine%20modes%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24X(t)%20%5Cpropto%20%5Chat%5Cpsi_%7Bk_c%2C1%7D(t)%2C%20%5Cqquad%20Y(t)%20%5Cpropto%20%5Chat%5Ctheta_%7Bk_c%2C1%7D(t)%2C%20%5Cqquad%20Z(t)%20%5Cpropto%20%5Chat%5Ctheta_%7B0%2C2%7D(t)%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20subscripts%20denote%20the%20%24(k_x%2C%20n_z)%24%20mode.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(get_rb2d%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_sim4%20%3D%20get_rb2d()%0A%20%20%20%20mo.stop(_sim4%20is%20None%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Run%20the%202D%20simulation%20above%20to%20see%20the%20Lorenz%20projection.%22)%2C%20kind%3D%22warn%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_th_snaps%20%20%3D%20_sim4%5B%22snaps_th%22%5D%0A%20%20%20%20_psi_snaps%20%3D%20_sim4%5B%22snaps_psi%22%5D%0A%20%20%20%20_t_hist3%20%20%20%3D%20_sim4%5B%22t_hist%22%5D%0A%20%20%20%20_x3%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20_sim4%5B%22x%22%5D%3B%20_z3%20%3D%20_sim4%5B%22z%22%5D%0A%20%20%20%20_nz3%20%20%20%20%20%20%20%3D%20len(_z3)%0A%20%20%20%20_nx3%20%20%20%20%20%20%20%3D%20len(_x3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Lorenz-mode%20projections%0A%20%20%20%20_X_proj%2C%20_Y_proj%2C%20_Z_proj%20%3D%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_th3%2C%20_psi3%20in%20zip(_th_snaps%2C%20_psi_snaps)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20X%20~%20k_c%20Fourier%20mode%20of%20%CF%88%2C%20first%20sine%20mode%20in%20z%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_psi_fft%20%3D%20np.fft.rfft(_psi3%2C%20axis%3D0)%20%20%20%23%20shape%20(nkx%2C%20nz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ik1%20%3D%201%20%20%23%20first%20non-zero%20x%20mode%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_X_proj.append(float(np.abs(_psi_fft%5B_ik1%2C%20_nz3%2F%2F2%5D)))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Y%20~%20k_c%20Fourier%20mode%20of%20%CE%B8%2C%20first%20sine%20mode%20in%20z%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_th_fft%20%3D%20np.fft.rfft(_th3%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Y_proj.append(float(np.real(_th_fft%5B_ik1%2C%20_nz3%2F%2F2%5D)))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Z%20~%20zero%20x-mode%20of%20%CE%B8%2C%20second%20sine%20mode%20in%20z%20(mean%20profile%20distortion)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Z_proj.append(float(np.real(_th_fft%5B0%2C%20min(1%2C%20_nz3-1)%5D)))%0A%0A%20%20%20%20_X_proj%20%3D%20np.array(_X_proj)%0A%20%20%20%20_Y_proj%20%3D%20np.array(_Y_proj)%0A%20%20%20%20_Z_proj%20%3D%20np.array(_Z_proj)%0A%0A%20%20%20%20_fig5%2C%20_axes5%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(13%2C%204))%0A%20%20%20%20_axes5%5B0%5D.plot(_t_hist3%2C%20_X_proj%2C%20lw%3D1.5%2C%20color%3D%22%232563eb%22)%0A%20%20%20%20_axes5%5B0%5D.set_xlabel(%22%24t%24%22)%3B%20_axes5%5B0%5D.set_ylabel(%22%24X%20%5C%5Cpropto%20%5C%5Chat%7B%5C%5Cpsi%7D_%7Bk_c%2C1%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_axes5%5B0%5D.set_title(%22Flow%20intensity%22%2C%20fontsize%3D11)%3B%20_axes5%5B0%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_axes5%5B1%5D.plot(_t_hist3%2C%20_Y_proj%2C%20lw%3D1.5%2C%20color%3D%22crimson%22)%0A%20%20%20%20_axes5%5B1%5D.set_xlabel(%22%24t%24%22)%3B%20_axes5%5B1%5D.set_ylabel(%22%24Y%20%5C%5Cpropto%20%5C%5Chat%7B%5C%5Ctheta%7D_%7Bk_c%2C1%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_axes5%5B1%5D.set_title(%22Temperature%20contrast%22%2C%20fontsize%3D11)%3B%20_axes5%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_axes5%5B2%5D.plot(_X_proj%2C%20_Z_proj%2C%20lw%3D0.8%2C%20alpha%3D0.8%2C%20color%3D%22%237c3aed%22)%0A%20%20%20%20_axes5%5B2%5D.set_xlabel(%22%24X%24%22)%3B%20_axes5%5B2%5D.set_ylabel(%22%24Z%20%5C%5Cpropto%20%5C%5Chat%7B%5C%5Ctheta%7D_%7B0%2C2%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_axes5%5B2%5D.set_title(%22Phase%20portrait%20(%24X%24%E2%80%93%24Z%24%20plane)%22%2C%20fontsize%3D11)%3B%20_axes5%5B2%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.suptitle(%22Lorenz-mode%20projections%20from%20full%202D%20simulation%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig5%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%209%20%C2%B7%20Physical%20Interpretation%20%26%20Further%20Reading%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20does%20Lorenz%20matter%3F%0A%0A%20%20%20%20Lorenz's%201963%20paper%20%E2%80%94%20derived%20entirely%20from%20the%20RB%20problem%20%E2%80%94%20was%20the%20founding%0A%20%20%20%20document%20of%20**chaos%20theory**.%20Its%20key%20messages%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Deterministic%20chaos%20is%20possible**%20even%20in%20simple%2C%20low-dimensional%20systems%0A%20%20%20%20%20%20%20derived%20from%20the%20laws%20of%20physics.%0A%20%20%20%202.%20**Predictability%20has%20a%20finite%20horizon**%3A%20errors%20grow%20exponentially%20with%0A%20%20%20%20%20%20%20Lyapunov%20exponent%20%24%5Clambda_1%20%5Capprox%200.9%24%2C%20so%20a%2010%C3%97%20better%20initial%20condition%0A%20%20%20%20%20%20%20buys%20only%20%24%5Cln(10)%2F%5Clambda_1%20%5Capprox%202.5%24%20extra%20time%20units.%0A%20%20%20%203.%20**Strange%20attractors**%20are%20fractal%20objects%20with%20non-integer%20dimension%0A%20%20%20%20%20%20%20(%24d_L%20%5Capprox%202.06%24%20for%20the%20Lorenz%20attractor).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Summary%20of%20parameter%20regimes%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%24r%20%3D%20Ra%2FRa_c%24%20%7C%20Lorenz%20behaviour%20%7C%20RB%20physics%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---------------%7C-----------------%7C------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24r%20%3C%201%24%20%7C%20Origin%20is%20stable%20%7C%20Conduction%20%E2%80%94%20no%20flow%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%241%20%3C%20r%20%3C%20r_H%24%20%7C%20Stable%20fixed%20points%20%7C%20Steady%20convection%20rolls%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24r%20%3E%20r_H%20%5Capprox%2024.74%24%20%7C%20Chaotic%20attractor%20%7C%20Unsteady%2Fchaotic%20convection%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Key%20references%0A%0A%20%20%20%20-%20Lorenz%2C%20E.%20N.%20(1963).%20*Deterministic%20Nonperiodic%20Flow.*%20J.%20Atmos.%20Sci.%20**20**%2C%20130%E2%80%93141.%0A%20%20%20%20-%20Saltzman%2C%20B.%20(1962).%20*Finite%20amplitude%20free%20convection%20as%20an%20initial%20value%20problem.*%20J.%20Atmos.%20Sci.%20**19**%2C%20329%E2%80%93341.%0A%20%20%20%20-%20Chandrasekhar%2C%20S.%20(1961).%20*Hydrodynamic%20and%20Hydromagnetic%20Stability.*%20Oxford.%0A%20%20%20%20-%20Strogatz%2C%20S.%20H.%20(1994).%20*Nonlinear%20Dynamics%20and%20Chaos.*%20Addison-Wesley.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A