internalwaves

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.12%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.22.4%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Internal%20Waves%20in%20a%20Stratified%20Fluid%0A%20%20%20%20%23%23%20An%20Interactive%20GFD%20Tutorial%0A%0A%20%20%20%20The%20ocean%20and%20atmosphere%20are%20**stratified**%20%E2%80%94%20density%20decreases%20with%20height%0A%20%20%20%20(or%20increases%20with%20depth%20in%20the%20ocean).%20This%20stratification%20supports%20a%20rich%0A%20%20%20%20family%20of%20oscillations%20called%20**internal%20gravity%20waves**%2C%20which%20transport%20energy%0A%20%20%20%20and%20momentum%20over%20vast%20distances%20and%20play%20a%20crucial%20role%20in%20mixing.%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20builds%20up%20the%20physics%20from%20scratch%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Two-layer%20system**%20%E2%80%94%20the%20simplest%20model%20of%20a%20stratified%20fluid%0A%20%20%20%202.%20**Continuously%20stratified%20fluid**%20%E2%80%94%20the%20Brunt-V%C3%A4is%C3%A4l%C3%A4%20frequency%20%24N%24%0A%20%20%20%203.%20**Internal%20wave%20dispersion**%20%E2%80%94%20how%20frequency%20depends%20on%20wavenumber%20and%20angle%0A%20%20%20%204.%20**Wave%20beams**%20%E2%80%94%20internal%20waves%20propagate%20along%20characteristics%2C%20not%20radially%0A%20%20%20%205.%20**Vertical%20modes**%20%E2%80%94%20how%20internal%20waves%20fit%20into%20a%20bounded%20ocean%2Fatmosphere%0A%20%20%20%206.%20**2-D%20wave%20packet%20simulation**%20%E2%80%94%20watch%20wave%20beams%20propagate%20in%20real%20time%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**How%20to%20use%3A**%20Read%20the%20theory%20sections%2C%20adjust%20sliders%2C%20and%20press%0A%20%20%20%20%3E%20**%E2%96%B6%20Run%20Simulation**%20buttons%20to%20generate%20animations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%201%20%C2%B7%20The%20Two-Layer%20System%0A%0A%20%20%20%20The%20simplest%20stratified%20fluid%20consists%20of%20**two%20layers**%20of%20different%20densities%0A%20%20%20%20stacked%20on%20top%20of%20each%20other%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Upper%20layer%3A%20density%20%24%5Crho_1%24%2C%20thickness%20%24h_1%24%0A%20%20%20%20-%20Lower%20layer%3A%20density%20%24%5Crho_2%20%3E%20%5Crho_1%24%2C%20thickness%20%24h_2%24%0A%0A%20%20%20%20At%20the%20**interface**%20between%20the%20layers%2C%20small%20vertical%20displacements%20%24%5Ceta%24%0A%20%20%20%20are%20restored%20by%20buoyancy.%20%20The%20reduced%20gravity%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24g'%20%3D%20g%5C%2C%5Cfrac%7B%5Crho_2%20-%20%5Crho_1%7D%7B%5Crho_1%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20interface%20waves%20with%20horizontal%20wavenumber%20%24k%24%2C%20the%20dispersion%20relation%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Comega%5E2%20%3D%20g'%20k%20%5Ctanh(kh_2)%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20**shallow-water%20limit**%20(%24k%20h_2%20%5Cll%201%24)%3A%20%24%5Comega%20%3D%20k%5Csqrt%7Bg'%20h_2%7D%24%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20**deep-water%20limit**%20(%24k%20h_2%20%5Cgg%201%24)%3A%20%24%5Comega%20%3D%20%5Csqrt%7Bg'%20k%7D%24%0A%0A%20%20%20%20Compare%20with%20**surface**%20gravity%20waves%20(%24%5Crho_2%20%5Cto%20%5Cinfty%24%2C%20%24g'%20%5Cto%20g%24)%3A%0A%20%20%20%20the%20interface%20waves%20travel%20much%20more%20slowly%20because%20%24g'%20%5Cll%20g%24%0A%20%20%20%20(typical%20oceanic%20%24g'%2Fg%20%5Csim%2010%5E%7B-3%7D%24).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Two-layer%20dispersion%20controls%0A%20%20%20%20tl_rho1%20%3D%20mo.ui.slider(990%2C%201025%2C%20value%3D1000%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Upper%20density%20%CF%81%E2%82%81%20(kg%2Fm%C2%B3)%22)%0A%20%20%20%20tl_rho2%20%3D%20mo.ui.slider(1000%2C%201030%2C%20value%3D1025%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Lower%20density%20%CF%81%E2%82%82%20(kg%2Fm%C2%B3)%22)%0A%20%20%20%20tl_h2%20%20%20%3D%20mo.ui.slider(10%2C%205000%2C%20value%3D500%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Lower%20layer%20depth%20h%E2%82%82%20(m)%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Two-layer%20dispersion%20relation%20%E2%80%94%20adjust%20parameters%3A**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tl_rho1%2C%20tl_rho2%2C%20tl_h2%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20tl_h2%2C%20tl_rho1%2C%20tl_rho2%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20tl_h2%2C%20tl_rho1%2C%20tl_rho2)%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib%0A%20%20%20%20matplotlib.use(%22Agg%22)%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20io%2C%20base64%0A%0A%20%20%20%20g%20%3D%209.81%0A%20%20%20%20rho1%20%3D%20tl_rho1.value%0A%20%20%20%20rho2%20%3D%20tl_rho2.value%0A%20%20%20%20h2%20%20%20%3D%20tl_h2.value%0A%0A%20%20%20%20if%20rho2%20%3C%3D%20rho1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%E2%9A%A0%EF%B8%8F%20%CF%81%E2%82%82%20must%20be%20greater%20than%20%CF%81%E2%82%81%20for%20stable%20stratification.%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gprime%20%3D%20g%20*%20(rho2%20-%20rho1)%20%2F%20rho1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c_iw%20%20%20%3D%20np.sqrt(gprime%20*%20h2)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20shallow%20interface%20wave%20speed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ld%20%20%20%20%20%3D%20np.sqrt(gprime%20*%20h2)%20%2F%201e-4%20%20%20%23%20deformation%20radius%20(f~1e-4%20s%5E-1)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_arr%20%3D%20np.logspace(-5%2C%200%2C%20300)%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20wavenumber%20(rad%2Fm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20omega_iw%20%20%20%20%20%3D%20np.sqrt(gprime%20*%20k_arr%20*%20np.tanh(k_arr%20*%20h2))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20omega_sw%20%20%20%20%20%3D%20np.sqrt(g%20%20%20%20%20%20%20*%20k_arr)%20%20%23%20surface%20gravity%20wave%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phase_iw%20%3D%20omega_iw%20%2F%20k_arr%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phase_sw%20%3D%20omega_sw%20%2F%20k_arr%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(10%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax%20%3D%20axes%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.loglog(k_arr%2C%20omega_iw%20%2F%20(2*np.pi)%2C%20label%3D%22Interface%20wave%22%2C%20color%3D%22%232196F3%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.loglog(k_arr%2C%20omega_sw%20%2F%20(2*np.pi)%2C%20label%3D%22Surface%20wave%22%2C%20%20%20color%3D%22%23FF9800%22%2C%20lw%3D2%2C%20ls%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlabel(%22Wavenumber%20k%20(rad%2Fm)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylabel(%22Frequency%20(Hz)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_title(%22Dispersion%20relation%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.legend()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.grid(True%2C%20which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax%20%3D%20axes%5B1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.semilogx(k_arr%2C%20phase_iw%2C%20label%3D%22Interface%20wave%22%2C%20color%3D%22%232196F3%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.semilogx(k_arr%2C%20phase_sw%2C%20label%3D%22Surface%20wave%22%2C%20%20%20color%3D%22%23FF9800%22%2C%20lw%3D2%2C%20ls%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlabel(%22Wavenumber%20k%20(rad%2Fm)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylabel(%22Phase%20speed%20c%20%3D%20%CF%89%2Fk%20(m%2Fs)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_title(%22Phase%20speed%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.legend()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.grid(True%2C%20which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig.suptitle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22g%E2%80%B2%20%3D%20%7Bgprime%3A.4f%7D%20m%2Fs%C2%B2%2C%20%20%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22c_interface%20%3D%20%7Bc_iw%3A.2f%7D%20m%2Fs%20%20(vs%20%7Bnp.sqrt(g*h2)%3A.0f%7D%20m%2Fs%20surface)%2C%20%20%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22L_d%20%E2%89%88%20%7BLd%2F1e3%3A.0f%7D%20km%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20buf%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig.savefig(buf%2C%20format%3D%22png%22%2C%20dpi%3D110)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.close(fig)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20buf.seek(0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20img_b64%20%3D%20base64.b64encode(buf.read()).decode()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cimg%20src%3D%22data%3Aimage%2Fpng%3Bbase64%2C%7Bimg_b64%7D%22%20style%3D%22max-width%3A100%25%22%3E')%0A%20%20%20%20return%20base64%2C%20io%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%202%20%C2%B7%20Continuously%20Stratified%20Fluid%3A%20The%20Brunt-V%C3%A4is%C3%A4l%C3%A4%20Frequency%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20real%20ocean%20or%20atmosphere%2C%20density%20varies%20**continuously**%20with%20height%20%24z%24.%0A%20%20%20%20The%20key%20quantity%20is%20the%20**Brunt-V%C3%A4is%C3%A4l%C3%A4%20(buoyancy)%20frequency**%20%24N%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24N%5E2(z)%20%3D%20-%5Cfrac%7Bg%7D%7B%5Crho_0%7D%5Cfrac%7Bd%5Crho%7D%7Bdz%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24N%24%20is%20the%20frequency%20at%20which%20a%20fluid%20parcel%20oscillates%20vertically%20when%0A%20%20%20%20displaced%20from%20equilibrium%20%E2%80%94%20the%20%22restoring%20spring%20constant%22%20of%20stratification.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Location%20%7C%20Typical%20%24N%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C----------%7C------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Ocean%20thermocline%20%7C%20%245-20%24%20cph%20(%24%5Csim%2010%5E%7B-3%7D%24%20rad%2Fs)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Ocean%20deep%20water%20%7C%20%240.5-2%24%20cph%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Lower%20troposphere%20%7C%20%24%5Csim%2010%5E%7B-2%7D%24%20rad%2Fs%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Stratosphere%20%7C%20%24%5Csim%202%5Ctimes10%5E%7B-2%7D%24%20rad%2Fs%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Common%20stratification%20profiles%0A%0A%20%20%20%20**Exponential**%20(typical%20ocean)%3A%0A%20%20%20%20%24%24%5Crho(z)%20%3D%20%5Crho_0%20e%5E%7B-z%2FH_%5Crho%7D%2C%20%5Cquad%20N%5E2%20%3D%20g%2FH_%5Crho%20%3D%20%5Ctext%7Bconst%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Tanh**%20(sharp%20thermocline%20at%20depth%20%24z_0%24%2C%20width%20%24%5Cdelta%24)%3A%0A%20%20%20%20%24%24N%5E2(z)%20%3D%20N_0%5E2%20%5Cleft%5B1%20%2B%20%5Ctanh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7Bz%20-%20z_0%7D%7B%5Cdelta%7D%5Cright)%5Cright%5D%2F2%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Two-layer%20limit**%3A%20%24N(z)%20%3D%20N_0%5C%2C%5Cdelta(z%20-%20z_0)%24%20(concentrated%20at%20the%20interface)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20strat_type%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Constant%20N%22%2C%20%22Tanh%20(thermocline)%22%2C%20%22Exponential%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Tanh%20(thermocline)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Stratification%20profile%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20N0_slider%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%2020%2C%20value%3D10%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Peak%20N%E2%82%80%20(cycles%2Fhour)%22)%0A%20%20%20%20thermo_depth%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%201000%2C%20value%3D200%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Thermocline%20depth%20(m)%22)%0A%20%20%20%20thermo_width%20%3D%20mo.ui.slider(10%2C%20300%2C%20value%3D80%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Thermocline%20width%20%CE%B4%20(m)%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bstrat_type%2C%20N0_slider%2C%20thermo_depth%2C%20thermo_width%5D)%0A%20%20%20%20return%20N0_slider%2C%20strat_type%2C%20thermo_depth%2C%20thermo_width%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20N0_slider%2C%0A%20%20%20%20base64%2C%0A%20%20%20%20io%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20strat_type%2C%0A%20%20%20%20thermo_depth%2C%0A%20%20%20%20thermo_width%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_z%20%3D%20np.linspace(-2000%2C%200%2C%20500)%20%20%20%23%20depth%20in%20metres%20(negative%20upward)%0A%20%20%20%20_N0%20%3D%20N0_slider.value%20*%202*np.pi%20%2F%203600%20%20%20%23%20convert%20cph%20%E2%86%92%20rad%2Fs%0A%0A%20%20%20%20_stype%20%3D%20strat_type.value%0A%20%20%20%20if%20_stype%20%3D%3D%20%22Constant%20N%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_N2%20%3D%20np.full_like(_z%2C%20_N0**2)%0A%20%20%20%20elif%20_stype%20%3D%3D%20%22Tanh%20(thermocline)%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_z0%20%3D%20-thermo_depth.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dz%20%3D%20thermo_width.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_N2%20%3D%20_N0**2%20*%20(1%20%2B%20np.tanh((_z%20-%20_z0)%2F_dz))%20%2F%202%0A%20%20%20%20else%3A%20%20%20%23%20Exponential%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Hr%20%3D%20500.0%20%20%23%20scale%20depth%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_N2%20%3D%20(_N0**2)%20*%20np.exp(_z%2F_Hr)%20%2F%20np.exp(-2000%2F_Hr)%0A%0A%20%20%20%20_N%20%20%3D%20np.sqrt(np.maximum(_N2%2C%200))%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(8%2C%205)%2C%20sharey%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(_N%20*%203600%20%2F%20(2*np.pi)%2C%20_z%2C%20color%3D%22%232196F3%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_xlabel(%22N%20(cycles%20per%20hour)%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_ylabel(%22Depth%20(m)%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_title(%22Buoyancy%20frequency%20N(z)%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(_N2%2C%20_z%2C%20color%3D%22%23E91E63%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set_xlabel(%22N%C2%B2%20(rad%C2%B2%2Fs%C2%B2)%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set_title(%22N%C2%B2(z)%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_buf%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20_fig.savefig(_buf%2C%20format%3D%22png%22%2C%20dpi%3D110)%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%20%20%20%20_buf.seek(0)%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20base64.b64encode(_buf.read()).decode()%0A%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cimg%20src%3D%22data%3Aimage%2Fpng%3Bbase64%2C%7B_img%7D%22%20style%3D%22max-width%3A100%25%22%3E')%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%203%20%C2%B7%20Internal%20Wave%20Dispersion%20Relation%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20**plane%20internal%20wave**%20with%20horizontal%20wavenumber%20%24k%24%20and%20vertical%0A%20%20%20%20wavenumber%20%24m%24%20in%20a%20uniformly%20stratified%20fluid%20(constant%20%24N%24)%2C%20the%20dispersion%0A%20%20%20%20relation%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Comega%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7BN%5E2%20k%5E2%20%2B%20f%5E2%20m%5E2%7D%7Bk%5E2%20%2B%20m%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24f%20%3D%202%5COmega%5Csin%5Cphi%24%20is%20the%20Coriolis%20parameter.%20%20This%20can%20be%20written%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Comega%5E2%20%3D%20N%5E2%20%5Ccos%5E2%5C!%5Ctheta%20%2B%20f%5E2%20%5Csin%5E2%5C!%5Ctheta%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Ctheta%24%20is%20the%20angle%20of%20the%20wavenumber%20vector%20from%20the%20**vertical**%0A%20%20%20%20(equivalently%2C%20the%20angle%20of%20the%20wave%20beam%20from%20the%20**horizontal**).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Key%20properties%0A%0A%20%20%20%20-%20Frequency%20depends%20only%20on%20**propagation%20angle**%20%24%5Ctheta%24%2C%20not%20on%20the%0A%20%20%20%20%20%20magnitude%20of%20the%20wavenumber%20%E2%86%92%20**scale%20invariance**%0A%20%20%20%20-%20Internal%20waves%20exist%20only%20for%20%24f%20%5Cle%20%7C%5Comega%7C%20%5Cle%20N%24%0A%20%20%20%20-%20Energy%20propagates%20along%20**wave%20beams**%20at%20angle%20%24%5Ctheta%24%20to%20the%20horizontal%0A%20%20%20%20-%20Group%20velocity%20is%20**perpendicular**%20to%20phase%20velocity!%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Group%20velocity%0A%0A%20%20%20%20%24%24c_%7Bgx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Comega%7D%7B%5Cpartial%20k%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B(N%5E2-f%5E2)%20k%20m%5E2%7D%7B%5Comega(k%5E2%2Bm%5E2)%5E2%7D%24%24%0A%20%20%20%20%24%24c_%7Bgz%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Comega%7D%7B%5Cpartial%20m%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B(N%5E2-f%5E2)%20k%5E2%20m%7D%7B%5Comega(k%5E2%2Bm%5E2)%5E2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Note%3A%20%24c_%7Bgz%7D%24%20has%20**opposite%20sign**%20to%20%24m%24%20%E2%80%94%20if%20phase%20propagates%20upward%2C%0A%20%20%20%20energy%20propagates%20downward%20(and%20vice%20versa).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20disp_N_slider%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%2030%2C%20value%3D10%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22N%20(cycles%2Fhour)%22)%0A%20%20%20%20disp_f_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%205%2C%20value%3D1%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22f%20(cycles%2Fhour)%20%E2%80%94%20set%200%20for%20non-rotating%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Explore%20the%20dispersion%20relation%3A**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20disp_N_slider%2C%20disp_f_slider%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20disp_N_slider%2C%20disp_f_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(base64%2C%20disp_N_slider%2C%20disp_f_slider%2C%20io%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_N%20%20%3D%20disp_N_slider.value%20*%202*np.pi%20%2F%203600%0A%20%20%20%20_f%20%20%3D%20disp_f_slider.value%20*%202*np.pi%20%2F%203600%0A%0A%20%20%20%20if%20_N%20%3C%3D%20_f%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%E2%9A%A0%EF%B8%8F%20N%20must%20exceed%20f%20for%20internal%20waves%20to%20exist.%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%20np.pi%2F2%2C%20300)%20%20%20%23%20angle%20from%20vertical%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_omega%20%3D%20np.sqrt(_N**2%20*%20np.cos(_theta)**2%20%2B%20_f**2%20*%20np.sin(_theta)**2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%202-D%20dispersion%20surface%3A%20omega(k%2Cm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_kgrid%20%3D%20np.linspace(-0.02%2C%200.02%2C%20200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mgrid%20%3D%20np.linspace(-0.02%2C%200.02%2C%20200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_KK%2C%20_MM%20%3D%20np.meshgrid(_kgrid%2C%20_mgrid)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Kmag2%20%20%20%3D%20_KK**2%20%2B%20_MM**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Kmag2%20%20%20%3D%20np.where(_Kmag2%20%3D%3D%200%2C%201e-30%2C%20_Kmag2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_OM%20%20%20%20%20%20%3D%20np.sqrt((_N**2%20*%20_KK**2%20%2B%20_f**2%20*%20_MM**2)%20%2F%20_Kmag2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(13%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20(a)%20omega%20vs%20theta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(np.degrees(_theta)%2C%20_omega%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%20color%3D%22%232196F3%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axhline(_N%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%20color%3D%22red%22%2C%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1%2C%20label%3D%22N%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axhline(_f%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%20color%3D%22green%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1%2C%20label%3D%22f%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Propagation%20angle%20%CE%B8%20from%20vertical%20(%C2%B0)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Frequency%20%CF%89%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(%22%CF%89%20vs.%20angle%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20(b)%20dispersion%20surface%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pc%20%3D%20_ax.contourf(_kgrid*1e3%2C%20_mgrid*1e3%2C%20_OM%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20levels%3D20%2C%20cmap%3D%22viridis%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.colorbar(_pc%2C%20ax%3D_ax%2C%20label%3D%22%CF%89%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22k%20(rad%2Fkm)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22m%20(rad%2Fkm)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(%22Dispersion%20surface%20%CF%89(k%2Cm)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_aspect(%22equal%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20(c)%20group%20velocity%20angle%20vs%20omega%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_om_range%20%3D%20np.linspace(_f*1.01%2C%20_N*0.99%2C%20300)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cos_th%20%20%20%3D%20np.sqrt((_om_range**2%20-%20_f**2)%20%2F%20(_N**2%20-%20_f**2))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_beam_ang%20%3D%20np.degrees(np.arccos(_cos_th))%20%20%20%23%20beam%20angle%20from%20horizontal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_om_range%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%20_beam_ang%2C%20color%3D%22%23E91E63%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Frequency%20%CF%89%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Wave%20beam%20angle%20from%20horizontal%20(%C2%B0)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(%22Beam%20angle%20vs.%20frequency%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_buf%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.savefig(_buf%2C%20format%3D%22png%22%2C%20dpi%3D110)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_buf.seek(0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_img%20%3D%20base64.b64encode(_buf.read()).decode()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cimg%20src%3D%22data%3Aimage%2Fpng%3Bbase64%2C%7B_img%7D%22%20style%3D%22max-width%3A100%25%22%3E')%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%204%20%C2%B7%20Wave%20Beams%20and%20Ray%20Tracing%0A%0A%20%20%20%20Because%20internal%20wave%20frequency%20depends%20only%20on%20**angle**%20(not%20wavenumber%0A%20%20%20%20magnitude)%2C%20energy%20from%20a%20localised%20source%20concentrates%20into%20narrow%0A%20%20%20%20**wave%20beams**%20emanating%20at%20angle%20%24%5Ctheta%24%20to%20the%20horizontal%2C%20where%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ccos%5Ctheta%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Comega%5E2%20-%20f%5E2%7D%7BN%5E2%20-%20f%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20uniformly%20stratified%20fluid%2C%20beams%20travel%20in%20**straight%20lines**.%0A%20%20%20%20When%20%24N%24%20varies%20with%20depth%2C%20beams%20follow%20curved%20rays%20according%20to%0A%20%20%20%20**Snell's%20law%20for%20internal%20waves**%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24k_h%20%3D%20%5Ctext%7Bconst%7D%2C%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20m(z)%20%3D%20k_h%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BN%5E2(z)%20-%20%5Comega%5E2%7D%7B%5Comega%5E2%20-%20f%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20A%20beam%20is%20**reflected**%20where%20%24%5Comega%20%3D%20N(z)%24%20(turning%20level)%20or%20at%20solid%0A%20%20%20%20boundaries.%20%20It%20is%20**trapped**%20if%20%24%5Comega%20%3C%20N%24%20everywhere%20between%20two%0A%20%20%20%20turning%20levels.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20%22St.%20Andrew's%20Cross%22%0A%0A%20%20%20%20A%20classic%20experiment%3A%20oscillate%20a%20sphere%20at%20frequency%20%24%5Comega%24%20in%20a%0A%20%20%20%20uniformly%20stratified%20tank.%20Energy%20radiates%20along%20four%20beams%20forming%0A%20%20%20%20an%20%22X%22%20shape%20at%20angles%20%24%5Cpm%5Ctheta%24%20above%20and%20below%20the%20horizontal.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20ray_omega%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%2020%2C%20value%3D7%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Wave%20frequency%20%CF%89%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20ray_N0_sl%20%3D%20mo.ui.slider(2%2C%2030%2C%20value%3D15%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Peak%20N%E2%82%80%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20ray_f_sl%20%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%203%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22f%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20ray_nsrc%20%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%205%2C%20value%3D3%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20source%20beams%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Ray%20tracing%20in%20a%20variable-N%20ocean%3A**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ray_omega%2C%20ray_N0_sl%2C%20ray_f_sl%2C%20ray_nsrc%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20ray_N0_sl%2C%20ray_f_sl%2C%20ray_nsrc%2C%20ray_omega%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(base64%2C%20io%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20ray_N0_sl%2C%20ray_f_sl%2C%20ray_nsrc%2C%20ray_omega)%3A%0A%20%20%20%20_omega%20%3D%20ray_omega.value%20*%202*np.pi%2F3600%0A%20%20%20%20_N0%20%20%20%20%3D%20ray_N0_sl.value%20*%202*np.pi%2F3600%0A%20%20%20%20_f%20%20%20%20%20%3D%20ray_f_sl.value%20%20*%202*np.pi%2F3600%0A%20%20%20%20_nsrc%20%20%3D%20ray_nsrc.value%0A%0A%20%20%20%20if%20_omega%20%3E%3D%20_N0%20or%20_omega%20%3C%3D%20_f%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%E2%9A%A0%EF%B8%8F%20Need%20f%20%3C%20%CF%89%20%3C%20N%E2%82%80%20for%20internal%20waves.%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Tanh%20N(z)%20profile%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_z_arr%20%3D%20np.linspace(-2000%2C%200%2C%201000)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_z0_th%20%3D%20-200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_N2_arr%20%3D%20_N0**2%20*%20(1%20%2B%20np.tanh((_z_arr%20-%20_z0_th)%2F80))%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_N_arr%20%20%3D%20np.sqrt(np.maximum(_N2_arr%2C%200))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_N_of_z(z)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.sqrt(max(0%2C%20_N0**2%20*%20(1%20%2B%20np.tanh((z%20-%20_z0_th)%2F80))%20%2F%202))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Ray%20tracing%3A%20dz%2Fdx%20%3D%20%C2%B1tan(%CE%B8(z))%2C%20%CE%B8%20%3D%20arccos(sqrt((%CF%89%C2%B2-f%C2%B2)%2F(N%C2%B2-f%C2%B2)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_trace_ray(z_start%2C%20up%3DTrue%2C%20x_max%3D4e5%2C%20ds%3D100.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Trace%20a%20single%20ray%20starting%20at%20x%3D0%2C%20z%3Dz_start.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xs%2C%20zs%20%3D%20%5B0.0%5D%2C%20%5Bz_start%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%20z%20%3D%200.0%2C%20z_start%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sign%20%3D%201%20if%20up%20else%20-1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(200000)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20N_z%20%3D%20_N_of_z(z)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20N_z%20%3C%3D%20_omega%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%20%20%20%23%20turning%20level%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arg%20%3D%20(_omega**2%20-%20_f**2)%20%2F%20(N_z**2%20-%20_f**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cos_th%20%3D%20np.sqrt(np.clip(arg%2C%200%2C%201))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sin_th%20%3D%20np.sqrt(1%20-%20cos_th**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20sin_th%20%3C%201e-9%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dz_ds%20%3D%20sign%20*%20cos_th%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dx_ds%20%3D%20sin_th%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%2B%3D%20dx_ds%20*%20ds%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%20%2B%3D%20dz_ds%20*%20ds%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20z%20%3E%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sign%20%3D%20-1%20%20%20%20%20%23%20reflect%20off%20surface%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20z%20%3C%3D%20-2000%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%20%3D%20-2000.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sign%20%3D%201%20%20%20%20%20%20%23%20reflect%20off%20bottom%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3E%20x_max%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xs.append(x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zs.append(z)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(xs)%2C%20np.array(zs)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Left%3A%20N(z)%20profile%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_N_arr%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%20_z_arr%2C%20color%3D%22%232196F3%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(_omega%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%20color%3D%22red%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%CF%89%20%3D%20%7Bray_omega.value%7D%20cph%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22N%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Depth%20(m)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(%22Stratification%20profile%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Right%3A%20ray%20paths%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_colors%20%3D%20plt.cm.plasma(np.linspace(0.2%2C%200.9%2C%20_nsrc))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_z_srcs%20%3D%20np.linspace(-100%2C%20-1500%2C%20_nsrc)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_i%2C%20(_zs_src%2C%20_col)%20in%20enumerate(zip(_z_srcs%2C%20_colors))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xr%2C%20_zr%20%3D%20_trace_ray(_zs_src%2C%20up%3DTrue%2C%20%20x_max%3D3e5%2C%20ds%3D200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xr%2F1e3%2C%20_zr%2C%20color%3D_col%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xr2%2C%20_zr2%20%3D%20_trace_ray(_zs_src%2C%20up%3DFalse%2C%20x_max%3D3e5%2C%20ds%3D200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xr2%2F1e3%2C%20_zr2%2C%20color%3D_col%2C%20lw%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22src%20z%3D%7B_zs_src%3A.0f%7D%20m%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Horizontal%20distance%20(km)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Depth%20(m)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(f%22Ray%20paths%20%20(%CF%89%20%3D%20%7Bray_omega.value%7D%20cph)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(0%2C%20300)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylim(-2000%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D8%2C%20loc%3D%22lower%20right%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.fill_between(%5B0%2C%20300%5D%2C%20%5B-2000%2C%20-2000%5D%2C%20%5B-2050%2C%20-2050%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%238D6E63%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_buf%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.savefig(_buf%2C%20format%3D%22png%22%2C%20dpi%3D110)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_buf.seek(0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_img%20%3D%20base64.b64encode(_buf.read()).decode()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cimg%20src%3D%22data%3Aimage%2Fpng%3Bbase64%2C%7B_img%7D%22%20style%3D%22max-width%3A100%25%22%3E')%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%205%20%C2%B7%20Vertical%20Modes%20in%20a%20Bounded%20Ocean%0A%0A%20%20%20%20In%20an%20ocean%20of%20depth%20%24H%24%20with%20rigid-lid%20boundary%20conditions%20(%24w%3D0%24%20at%0A%20%20%20%20%24z%3D0%24%20and%20%24z%3D-H%24)%2C%20the%20vertical%20structure%20of%20internal%20waves%20is%20described%0A%20%20%20%20by%20the%20**eigenvalue%20problem**%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5E2%20F_n%7D%7Bdz%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BN%5E2(z)%7D%7Bc_n%5E2%7D%20F_n%20%3D%200%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%20F_n(0)%20%3D%20F_n(-H)%20%3D%200%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24c_n%20%3D%20%5Comega%2Fk%24%20is%20the%20**mode%20speed**%20(equivalent%20phase%20speed)%20and%0A%20%20%20%20%24F_n(z)%24%20is%20the%20vertical%20structure%20of%20horizontal%20velocity.%0A%20%20%20%20Mode%20%24n%24%20has%20%24n%24%20zero-crossings%20and%20characteristic%20horizontal%20scale%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24L_n%20%3D%20c_n%20%2F%20f%20%5Cqquad%20%5Ctext%7B(deformation%20radius%20of%20mode%20%7D%20n%20%5Ctext%7B)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20pressure%2Fdensity%20structure%20is%20given%20by%20%24p%20%5Cpropto%20F_n%24%2C%20while%0A%20%20%20%20vertical%20velocity%20scales%20as%20%24dF_n%2Fdz%24.%0A%0A%20%20%20%20For%20constant%20%24N%24%2C%20the%20solutions%20are%20simply%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24F_n(z)%20%3D%20%5Csin%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7Bn%5Cpi(z%2BH)%7D%7BH%7D%5Cright)%2C%20%5Cquad%0A%20%20%20%20c_n%20%3D%20%5Cfrac%7BNH%7D%7Bn%5Cpi%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20vm_N_sl%20%20%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%2030%2C%20value%3D10%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22N%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20vm_H_sl%20%20%20%3D%20mo.ui.slider(200%2C%205000%2C%20value%3D2000%2C%20step%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Ocean%20depth%20H%20(m)%22)%0A%20%20%20%20vm_nmodes%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%208%2C%20value%3D4%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20modes%20to%20show%22)%0A%20%20%20%20vm_strat%20%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Constant%20N%22%2C%20%22Tanh%20(thermocline)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Tanh%20(thermocline)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Stratification%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bvm_strat%2C%20vm_N_sl%2C%20vm_H_sl%2C%20vm_nmodes%5D)%0A%20%20%20%20return%20vm_H_sl%2C%20vm_N_sl%2C%20vm_nmodes%2C%20vm_strat%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(base64%2C%20io%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20vm_H_sl%2C%20vm_N_sl%2C%20vm_nmodes%2C%20vm_strat)%3A%0A%20%20%20%20_N0%20%20%3D%20vm_N_sl.value%20*%202*np.pi%2F3600%0A%20%20%20%20_H%20%20%20%3D%20vm_H_sl.value%0A%20%20%20%20_nmo%20%3D%20vm_nmodes.value%0A%0A%20%20%20%20_nz%20%3D%20500%0A%20%20%20%20_z%20%20%3D%20np.linspace(-_H%2C%200%2C%20_nz)%0A%20%20%20%20_dz%20%3D%20_z%5B1%5D%20-%20_z%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20if%20vm_strat.value%20%3D%3D%20%22Constant%20N%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_N2%20%3D%20np.full(_nz%2C%20_N0**2)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_N2%20%3D%20_N0**2%20*%20(1%20%2B%20np.tanh((_z%20%2B%20_H%2F4)%20%2F%20(_H%2F10)))%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20%23%20Build%20tridiagonal%20eigenvalue%20matrix%20for%20d%C2%B2F%2Fdz%C2%B2%20%2B%20(N%C2%B2%2Fc%C2%B2)F%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20Discretise%3A%20F''%20%E2%89%88%20(F_%7Bj%2B1%7D%20-%202F_j%20%2B%20F_%7Bj-1%7D)%2Fdz%C2%B2%0A%20%20%20%20%23%20Interior%20points%20only%20(Dirichlet%20BCs)%0A%20%20%20%20_ni%20%3D%20_nz%20-%202%0A%20%20%20%20_diag%20%20%3D%20-2.0%20*%20np.ones(_ni)%20%2F%20_dz**2%0A%20%20%20%20_off%20%20%20%3D%20%201.0%20*%20np.ones(_ni%20-%201)%20%2F%20_dz**2%0A%20%20%20%20_N2int%20%3D%20_N2%5B1%3A-1%5D%0A%0A%20%20%20%20from%20scipy.linalg%20import%20eigh_tridiagonal%0A%20%20%20%20%23%20Eigenvalues%20of%20d%C2%B2%2Fdz%C2%B2%20(Dirichlet%20BCs)%20are%20all%20negative%3A%0A%20%20%20%20%23%20%CE%BC_n%20%E2%89%88%20-(n%CF%80%2FH)%C2%B2.%20%20Mode%201%20has%20the%20LARGEST%20(least-negative)%20eigenvalue.%0A%20%20%20%20%23%20Select%20the%20top%20_nmo%20eigenvalues%20(indices%20_ni-_nmo%20to%20_ni-1).%0A%20%20%20%20_eigvals%2C%20_eigvecs%20%3D%20eigh_tridiagonal(_diag%2C%20_off%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20select%3D%22i%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20select_range%3D(_ni%20-%20_nmo%2C%20_ni%20-%201))%0A%20%20%20%20%23%20Reverse%20so%20mode%201%20comes%20first%0A%20%20%20%20_eigvals%20%3D%20_eigvals%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_eigvecs%20%3D%20_eigvecs%5B%3A%2C%20%3A%3A-1%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20c_n%20%3D%20N_mean%20%2F%20sqrt(%7C%CE%BC_n%7C)%20%20(exact%20for%20constant%20N%3B%20approx%20for%20variable%20N)%0A%20%20%20%20_N2mean%20%3D%20np.mean(_N2int)%0A%20%20%20%20_c_n%20%20%20%20%3D%20np.sqrt(-_N2mean%20%2F%20_eigvals)%20%20%20%23%20modal%20speeds%20(all%20positive)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(10%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B0%5D%0A%20%20%20%20_ax.plot(_N2**0.5%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%20_z%2C%20color%3D%22%232196F3%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22N%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Depth%20(m)%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22N(z)%20profile%22)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B1%5D%0A%20%20%20%20_cols%20%3D%20plt.cm.tab10(np.linspace(0%2C%200.9%2C%20_nmo))%0A%20%20%20%20for%20_n%20in%20range(_nmo)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_F%20%3D%20np.zeros(_nz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_F%5B1%3A-1%5D%20%3D%20_eigvecs%5B%3A%2C%20_n%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_F%20%2F%3D%20np.max(np.abs(_F)%20%2B%201e-30)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_F%2C%20_z%2C%20color%3D_cols%5B_n%5D%2C%20lw%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22Mode%20%7B_n%2B1%7D%20%20c%3D%7B_c_n%5B_n%5D%3A.1f%7D%20m%2Fs%22)%0A%0A%20%20%20%20_ax.axvline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D0.8)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Normalised%20horizontal%20velocity%20F_n(z)%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Depth%20(m)%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22Vertical%20mode%20structures%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D8)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_buf%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20_fig.savefig(_buf%2C%20format%3D%22png%22%2C%20dpi%3D110)%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%20%20%20%20_buf.seek(0)%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20base64.b64encode(_buf.read()).decode()%0A%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cimg%20src%3D%22data%3Aimage%2Fpng%3Bbase64%2C%7B_img%7D%22%20style%3D%22max-width%3A100%25%22%3E')%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%206%20%C2%B7%202-D%20Internal%20Wave%20Beam%20Simulation%0A%0A%20%20%20%20We%20now%20simulate%20an%20internal%20wave%20beam%20in%20a%20**2-D%20(%24x%24-%24z%24)%20domain**%20with%0A%20%20%20%20uniform%20stratification%20%24N%24%20and%20rotation%20%24f%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20governing%20equations%20for%20the%20perturbation%20velocity%20and%20buoyancy%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20-%20f%20v%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho_0%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p'%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%24%24%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%2B%20f%20u%20%3D%200%24%24%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20w%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho_0%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p'%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%2B%20b%24%24%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20b%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%2B%20N%5E2%20w%20%3D%200%24%24%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20w%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%3D%200%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24b%20%3D%20-g%5Crho'%2F%5Crho_0%24%20is%20the%20buoyancy%20perturbation.%0A%0A%20%20%20%20Eliminating%20pressure%20using%20incompressibility%2C%20we%20track%20the%20**velocity%0A%20%20%20%20potential**%20%24%5Cpsi%24%20(%24u%20%3D%20%5Cpartial%5Cpsi%2F%5Cpartial%20z%24%2C%20%24w%20%3D%20-%5Cpartial%5Cpsi%2F%5Cpartial%20x%24).%0A%20%20%20%20The%20single%20evolution%20equation%20for%20the%20stream%20function%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%5Cnabla%5E2%5Cpsi%20%2B%20N%5E2%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%0A%20%20%20%20%2B%20f%5E2%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20z%5E2%7D%20%3D%20S(x%2Cz%2Ct)%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24S%24%20is%20an%20oscillating%20source%20at%20frequency%20%24%5Comega%24.%0A%0A%20%20%20%20**Simulation**%3A%20We%20force%20the%20fluid%20at%20a%20point%20source%20oscillating%20at%20%24%5Comega%24%2C%0A%20%20%20%20and%20watch%20the%20cross-shaped%20beam%20pattern%20develop%20(St.%20Andrew's%20Cross).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sim_N_sl%20%20%20%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%2020%2C%20value%3D10%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22N%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20sim_f_sl%20%20%20%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%205%2C%20value%3D1%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22f%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20sim_omega_sl%3D%20mo.ui.slider(1%2C%2018%2C%20value%3D6%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Source%20frequency%20%CF%89%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20sim_T_sl%20%20%20%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%2020%2C%20value%3D8%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Simulation%20duration%20(wave%20periods)%22)%0A%20%20%20%20sim_run%20%20%20%20%20%3D%20mo.ui.run_button(label%3D%22%E2%96%B6%20Run%20Wave%20Beam%20Simulation%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Configure%20and%20run%20the%202-D%20internal%20wave%20simulation%3A**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sim_N_sl%2C%20sim_f_sl%2C%20sim_omega_sl%2C%20sim_T_sl%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sim_run%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Larger%20grids%20or%20longer%20durations%20will%20take%20more%20time.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Start%20with%20defaults%20for%20a%20quick%20preview.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20sim_N_sl%2C%20sim_T_sl%2C%20sim_f_sl%2C%20sim_omega_sl%2C%20sim_run%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20sim_run)%3A%0A%20%20%20%20mo.stop(not%20sim_run.value%2C%20mo.md(%22Press%20**%E2%96%B6%20Run%20Wave%20Beam%20Simulation**%20above.%22))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(base64%2C%20io%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20sim_N_sl%2C%20sim_T_sl%2C%20sim_f_sl%2C%20sim_omega_sl)%3A%0A%20%20%20%20from%20PIL%20import%20Image%20as%20_PIL_Image%0A%0A%20%20%20%20_N%20%20%20%20%20%3D%20sim_N_sl.value%20%20%20%20*%202*np.pi%2F3600%0A%20%20%20%20_f%20%20%20%20%20%3D%20sim_f_sl.value%20%20%20%20*%202*np.pi%2F3600%0A%20%20%20%20_omega%20%3D%20sim_omega_sl.value%20*%202*np.pi%2F3600%0A%20%20%20%20_nT%20%20%20%20%3D%20sim_T_sl.value%0A%0A%20%20%20%20if%20_omega%20%3E%3D%20_N%20or%20(_f%20%3E%200%20and%20_omega%20%3C%3D%20_f)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%E2%9A%A0%EF%B8%8F%20Need%20f%20%3C%20%CF%89%20%3C%20N%20for%20internal%20waves%20to%20exist.%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Grid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Lx%2C%20_Lz%20%3D%20200e3%2C%20100e3%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20domain%20size%20(m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Nx%2C%20_Nz%20%3D%20128%2C%2064%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dx%20%3D%20_Lx%20%2F%20_Nx%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dz%20%3D%20_Lz%20%2F%20_Nz%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%20%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Lx%2C%20_Nx%2C%20endpoint%3DFalse)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_z%20%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Lz%2C%20_Nz%2C%20endpoint%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Spectral%20operators%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_kx%20%3D%202*np.pi%20*%20np.fft.fftfreq(_Nx%2C%20d%3D_dx)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_kz%20%3D%202*np.pi%20*%20np.fft.fftfreq(_Nz%2C%20d%3D_dz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_KX%2C%20_KZ%20%3D%20np.meshgrid(_kx%2C%20_kz%2C%20indexing%3D%22ij%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_K2%20%3D%20_KX**2%20%2B%20_KZ**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_K2%5B0%2C%200%5D%20%3D%201.0%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20avoid%20div%2F0%20at%20DC%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Invert%20Laplacian%3A%20%CF%88%20%3D%20L%E2%81%BB%C2%B9%20RHS%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_inv_laplacian(rhs_hat)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-rhs_hat%20%2F%20_K2%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Source%3A%20Gaussian%20blob%20at%20domain%20centre%2C%20oscillating%20at%20%CF%89%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xc%2C%20_zc%20%3D%20_Lx%2F2%2C%20_Lz%2F2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sigma_s%20%20%3D%205e3%20%20%20%20%23%20source%20width%20(m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_XX%2C%20_ZZ%20%20%3D%20np.meshgrid(_x%2C%20_z%2C%20indexing%3D%22ij%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_source_env%20%3D%20np.exp(-(((_XX-_xc)**2%20%2B%20(_ZZ-_zc)**2)%20%2F%20(2*_sigma_s**2)))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Time%20integration%20of%20%20%E2%88%82%C2%B2%2F%E2%88%82t%C2%B2%20%E2%88%87%C2%B2%CF%88%20%2B%20N%C2%B2%20%E2%88%82%C2%B2%CF%88%2F%E2%88%82x%C2%B2%20%2B%20f%C2%B2%20%E2%88%82%C2%B2%CF%88%2F%E2%88%82z%C2%B2%20%3D%20S%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Use%20second-order%20leapfrog%20on%20%E2%88%87%C2%B2%CF%88%20%E2%89%A1%20q%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E2%88%82%C2%B2q%2F%E2%88%82t%C2%B2%20%3D%20-(N%C2%B2kx%C2%B2%20%2B%20f%C2%B2kz%C2%B2)%2FK%C2%B2%20*%20q%20%2B%20%C5%9C%2FK%C2%B2%20%20%E2%86%92%20%20simple%20harmonic%20oscillator%20per%20mode%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_T_wave%20%20%3D%202*np.pi%20%2F%20_omega%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_T_sim%20%20%20%3D%20_nT%20*%20_T_wave%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dt%20%20%20%20%20%20%3D%20_T_wave%20%2F%2040%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%2040%20steps%20per%20period%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_nsteps%20%20%3D%20int(_T_sim%20%2F%20_dt)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_nframes%20%3D%20min(60%2C%20_nsteps)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_frame_interval%20%3D%20max(1%2C%20_nsteps%20%2F%2F%20_nframes)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Characteristic%20frequency%20per%20spectral%20mode%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_omega_hat2%20%3D%20(_N**2%20*%20_KX**2%20%2B%20_f**2%20*%20_KZ**2)%20%2F%20_K2%20%20%20%23%20%CF%89%C2%B2(k%2Cm)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Initialise%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_psi_hat%20%20%3D%20np.zeros((_Nx%2C%20_Nz)%2C%20dtype%3Dcomplex)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dpsi_hat%20%3D%20np.zeros((_Nx%2C%20_Nz)%2C%20dtype%3Dcomplex)%20%20%23%20%E2%88%82%2F%E2%88%82t%20%CF%88_hat%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20We%20integrate%20%E2%88%82%C2%B2%2F%E2%88%82t%C2%B2%20%CF%88%CC%82_k%20%2B%20%CF%89_k%C2%B2%20%CF%88%CC%82_k%20%3D%20%C5%9C_k(t)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20using%20St%C3%B6rmer-Verlet%20(leapfrog)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%20%20%CF%88%CC%82%5E%7Bn%2B1%7D%20%3D%202%CF%88%CC%82%5En%20-%20%CF%88%CC%82%5E%7Bn-1%7D%20-%20dt%C2%B2%20%CF%89_k%C2%B2%20%CF%88%CC%82%5En%20%2B%20dt%C2%B2%20%C5%9C_k%5En%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_source_hat_env%20%3D%20np.fft.fft2(_source_env)%20%2F%20_K2%20%20%23%20%E2%88%87%E2%81%BB%C2%B2(source_env)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_frames_psi%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_psi_prev%20%3D%20_psi_hat.copy()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_step%20in%20range(_nsteps%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_S_now%20%3D%20_source_env%20*%20np.sin(_omega%20*%20_t)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_S_hat%20%3D%20np.fft.fft2(_S_now)%20%2F%20_K2%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_psi_new%20%3D%202*_psi_hat%20-%20_psi_prev%20-%20_dt**2%20*%20(_omega_hat2%20*%20_psi_hat%20-%20_S_hat)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_step%20%25%20_frame_interval%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_psi_phys%20%3D%20np.real(np.fft.ifft2(_psi_hat))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20vertical%20velocity%20w%20%3D%20-%E2%88%82%CF%88%2F%E2%88%82x%20(spectral)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_w_hat%20%20%3D%20-1j%20*%20_KX%20*%20_psi_hat%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_w_phys%20%3D%20np.real(np.fft.ifft2(_w_hat))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_frames_psi.append(_w_phys.copy())%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_psi_prev%20%3D%20_psi_hat%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_psi_hat%20%20%3D%20_psi_new%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_t%20%2B%3D%20_dt%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20expected%20beam%20angle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cos_th%20%20%3D%20np.sqrt((_omega**2%20-%20_f**2)%20%2F%20(_N**2%20-%20_f**2))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_beam_deg%20%3D%20np.degrees(np.arccos(_cos_th))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Build%20GIF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_half%20%3D%20_frames_psi%5Blen(_frames_psi)%2F%2F2%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_vmax%20%3D%20max(np.abs(_fr).max()%20for%20_fr%20in%20_half)%20if%20_half%20else%201e-10%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_vmax%20%3D%20max(_vmax%2C%201e-10)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gif_frames%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_i%2C%20_w%20in%20enumerate(_frames_psi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig2%2C%20_ax2%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7%2C%204))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_im%20%3D%20_ax2.pcolormesh(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2F1e3%2C%20_z%2F1e3%2C%20_w.T%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cmap%3D%22RdBu_r%22%2C%20vmin%3D-_vmax%2C%20vmax%3D_vmax%2C%20shading%3D%22auto%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plt.colorbar(_im%2C%20ax%3D_ax2%2C%20label%3D%22w%20(m%2Fs)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(%22x%20(km)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.set_ylabel(%22z%20(km)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Internal%20wave%20beam%20%20(N%3D%7Bsim_N_sl.value%7D%20cph%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%CF%89%3D%7Bsim_omega_sl.value%7D%20cph%2C%20beam%20angle%3D%7B_beam_deg%3A.1f%7D%C2%B0)%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22t%20%3D%20%7B_i%20*%20_frame_interval%20*%20_dt%20%2F%20_T_wave%3A.1f%7D%20wave%20periods%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.plot(_xc%2F1e3%2C%20_zc%2F1e3%2C%20%22k*%22%2C%20ms%3D8%2C%20label%3D%22Source%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.legend(fontsize%3D8)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig2.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fb%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig2.savefig(_fb%2C%20format%3D%22png%22%2C%20dpi%3D80)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plt.close(_fig2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fb.seek(0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_gif_frames.append(_PIL_Image.open(_fb).convert(%22P%22))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gif_buf%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gif_frames%5B0%5D.save(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_gif_buf%2C%20format%3D%22GIF%22%2C%20save_all%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20append_images%3D_gif_frames%5B1%3A%5D%2C%20loop%3D0%2C%20duration%3D80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gif_buf.seek(0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gif_b64%20%3D%20base64.b64encode(_gif_buf.read()).decode()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**Beam%20angle%20from%20horizontal%3A**%20%7B_beam_deg%3A.1f%7D%C2%B0%20%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22(set%20by%20cos%20%CE%B8%20%3D%20%E2%88%9A%5B(%CF%89%C2%B2%E2%88%92f%C2%B2)%2F(N%C2%B2%E2%88%92f%C2%B2)%5D)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cimg%20src%3D%22data%3Aimage%2Fgif%3Bbase64%2C%7B_gif_b64%7D%22%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'style%3D%22max-width%3A100%25%3B%20border%3A1px%20solid%20%23ccc%22%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%207%20%C2%B7%20Garrett-Munk%20Spectrum%0A%0A%20%20%20%20The%20ocean%20is%20filled%20with%20a%20broad-band%20background%20of%20internal%20waves.%0A%20%20%20%20**Munk%20(1981)**%20and%20**Garrett%20%26%20Munk%20(1972)**%20described%20this%20background%0A%20%20%20%20as%20a%20universal%20spectrum%20known%20as%20the%20**Garrett-Munk%20(GM)%20spectrum**.%0A%0A%20%20%20%20The%20GM%20energy%20density%20in%20frequency-wavenumber%20space%20takes%20the%20form%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E(%5Comega%2C%20j)%20%5Cpropto%20%5Cfrac%7Bf%7D%7B%5Comega%5Csqrt%7B%5Comega%5E2%20-%20f%5E2%7D%7D%20%5Ccdot%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(j%5E2%20%2B%20j_*%5E2)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24j%24%20is%20the%20vertical%20mode%20number%20and%20%24j_*%20%5Capprox%203%24%20is%20a%20reference%0A%20%20%20%20mode%20number%20(GM76%20value).%0A%0A%20%20%20%20Key%20features%3A%0A%20%20%20%20-%20Energy%20falls%20off%20as%20%24%5Comega%5E%7B-2%7D%24%20at%20high%20frequency%20(between%20%24f%24%20and%20%24N%24)%0A%20%20%20%20-%20Most%20energy%20is%20at%20**near-inertial%20frequencies**%20(just%20above%20%24f%24)%0A%20%20%20%20-%20Low%20vertical%20modes%20(%24j%20%3D%201%2C%202%2C%203%24)%20carry%20most%20of%20the%20energy%0A%20%20%20%20-%20Total%20energy%20density%3A%20%24E%20%5Capprox%203%20%5Ctimes%2010%5E%7B-3%7D%24%20m%C2%B2%20s%E2%81%BB%C2%B2%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(base64%2C%20io%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(10%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Frequency%20spectrum%20S(%CF%89)%20%E2%88%9D%20f%20%2F%20(%CF%89%E2%88%9A(%CF%89%C2%B2-f%C2%B2))%0A%20%20%20%20_f_gm%20%20%3D%201.0%20*%202*np.pi%2F3600%20%20%20%23%201%20cph%20(mid-latitude)%0A%20%20%20%20_N_gm%20%20%3D%2010.0%20*%202*np.pi%2F3600%20%20%23%2010%20cph%0A%20%20%20%20_om%20%20%20%20%3D%20np.linspace(_f_gm*1.02%2C%20_N_gm*0.98%2C%20500)%0A%20%20%20%20_S_om%20%20%3D%20_f_gm%20%2F%20(_om%20*%20np.sqrt(_om**2%20-%20_f_gm**2))%0A%20%20%20%20_S_om%20%2F%3D%20np.trapz(_S_om%2C%20_om)%20%20%20%23%20normalise%0A%0A%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B0%5D%0A%20%20%20%20_ax.semilogy((_om%2F(2*np.pi))*3600%2C%20_S_om%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%232196F3%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(_f_gm%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%20color%3D%22red%22%2C%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%20label%3D%22f%20(near-inertial)%22)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(_N_gm%20*%203600%2F(2*np.pi)%2C%20color%3D%22green%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%20label%3D%22N%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Frequency%20(cph)%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Normalised%20energy%20density%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22GM%20frequency%20spectrum%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mode%20spectrum%20S(j)%20%E2%88%9D%201%2F(j%C2%B2%20%2B%20j*%C2%B2)%0A%20%20%20%20_j%20%20%20%20%3D%20np.arange(1%2C%2021)%0A%20%20%20%20_jstr%20%3D%203%0A%20%20%20%20_S_j%20%20%3D%201.0%20%2F%20(_j**2%20%2B%20_jstr**2)%0A%20%20%20%20_S_j%20%2F%3D%20_S_j.sum()%0A%0A%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B1%5D%0A%20%20%20%20_ax.bar(_j%2C%20_S_j%2C%20color%3D%22%23E91E63%22%2C%20alpha%3D0.8)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Vertical%20mode%20number%20j%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Relative%20energy%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(f%22GM%20mode%20spectrum%20(j*%20%3D%20%7B_jstr%7D)%22)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20axis%3D%22y%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_buf%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20_fig.savefig(_buf%2C%20format%3D%22png%22%2C%20dpi%3D110)%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%20%20%20%20_buf.seek(0)%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20base64.b64encode(_buf.read()).decode()%0A%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cimg%20src%3D%22data%3Aimage%2Fpng%3Bbase64%2C%7B_img%7D%22%20style%3D%22max-width%3A100%25%22%3E')%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%208%20%C2%B7%20Physical%20Interpretation%20%26%20Oceanic%20Role%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20internal%20waves%20matter%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Process%20%7C%20Role%20of%20internal%20waves%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---------%7C----------------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Diapycnal%20mixing**%20%7C%20Breaking%20internal%20waves%20provide%20~90%25%20of%20the%20energy%20for%20deep-ocean%20mixing%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Tidal%20energy%20dissipation**%20%7C%20Barotropic%20tides%20excite%20internal%20tides%20at%20topography%3B%20these%20radiate%20away%20as%20low-mode%20internal%20waves%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Near-inertial%20waves**%20%7C%20Wind-forced%3B%20carry%20~30%25%20of%20the%20total%20internal%20wave%20energy%3B%20important%20for%20upper-ocean%20mixing%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Lee%20waves**%20%7C%20Stratified%20flow%20over%20topography%20generates%20internal%20waves%20that%20dissipate%20downstream%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Momentum%20transport**%20%7C%20Internal%20waves%20flux%20horizontal%20momentum%20upward%2Fdownward%2C%20driving%20the%20QBO%20and%20other%20stratospheric%20oscillations%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Key%20dimensionless%20numbers%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20Definition%20%7C%20Meaning%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-----------%7C-----------%7C---------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Froude%20number%20%7C%20%24Fr%20%3D%20U%2FNH%24%20%7C%20Ratio%20of%20inertial%20to%20buoyancy%20forces%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Richardson%20number%20%7C%20%24Ri%20%3D%20N%5E2%20%2F%20(dU%2Fdz)%5E2%24%20%7C%20Stability%20against%20shear%20instability%3B%20%24Ri%20%3C%201%2F4%24%20%E2%86%92%20unstable%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Rossby%20number%20%7C%20%24Ro%20%3D%20U%2FfL%24%20%7C%20Ratio%20of%20inertial%20to%20Coriolis%20forces%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Connection%20to%20the%20two-layer%20model%0A%0A%20%20%20%20The%20two-layer%20model%20introduced%20in%20Section%201%20is%20the%20%24n%3D1%24%20vertical%20mode%0A%20%20%20%20of%20the%20full%20continuously%20stratified%20problem.%20Each%20baroclinic%20mode%20has%20a%0A%20%20%20%20corresponding%20%22reduced%20gravity%22%20and%20deformation%20radius%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24g_n'%20%3D%20(c_n)%5E2%20%2F%20H%2C%20%5Cqquad%20L_%7BR%2Cn%7D%20%3D%20c_n%20%2F%20f%24%24%0A%0A%20%20%20%20Mode%201%20dominates%20large-scale%20ocean%20variability%20(mesoscale%20eddies%2C%20El%20Ni%C3%B1o)%2C%0A%20%20%20%20while%20higher%20modes%20are%20important%20for%20internal%20wave%20dynamics%20and%20tidal%20mixing.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Summary%20of%20wave%20properties%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Property%20%7C%20Internal%20gravity%20wave%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---------%7C-----------------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Restoring%20force%20%7C%20Buoyancy%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Frequency%20range%20%7C%20%24f%20%5Cle%20%5Comega%20%5Cle%20N%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Propagation%20%7C%20Along%20wave%20beams%20at%20angle%20%24%5Ctheta%24%20to%20horizontal%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Group%20velocity%20%7C%20%E2%8A%A5%20to%20phase%20velocity%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Vertical%20propagation%20%7C%20Phase%20down%20%E2%86%94%20energy%20up%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Breaking%20%7C%20When%20wave%20amplitude%20%E2%86%92%20background%20stratification%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A